Случайные величины и их характеристики

Случайной величиной называется функция , определенная на множестве элементарных событий .

Случайная величина называется дискретной (прерывной), если множество ее возможных значений конечно или счетно. Случайная величина называется непрерывной, если существует неотрицательная функция такая, что .

Например, число студентов на лекции – дискретная случайная величина, а продолжительность лекции - непрерывная случайная величина.

Случайные величины обозначаются заглавными буквами латинского алфавита X, Y, Z, а их возможные значения - соответствующими прописными буквами x₁, x₂,..., x_n.

Законом распределения случайной величины называется соответствие, устанавливающее связь между возможными значениями случайных величин и их вероятностями.

Закон распределения может быть задан:

• аналитически;

• таблично;

• графически.

Закон распределения дискретной случайной величины задаётся чаще всего рядом распределения, т.е. таблицей

X	x1	x2,	…	xn
P	p1	p2	…	pn

в которой x₁, x₂,..., x_n – расположенные по возрастанию значения дискретной случайной величины , а p₁, p₂, …, p_n – соответствующие этим значениям вероятности. То, что случайная величина Х принимает одно из значений х₁, х₂, … , х_n, является достоверным событием и поэтому выполняется равенство .

Функция распределения – это вероятность того, что случайная величина X примет значение, меньшее заданного значения x:

.

Из определения следуют следующие свойства:

1. .

2. F(x) – неубывающая функция, т.е. если х₁< х₂, то F(x₁)≤ F(x₂).

3. Вероятность попадания случайной величины в интервал (а, b) равна .

4. Если все возможные значения случайной величины Х находятся на интервале (а, b), то F(x)=0 при х≤а и F(x)=1 при .

5. ,

Непрерывная случайная величина может быть задана в виде функции плотности вероятностей, которая является производной от функции распределения _{в точках непрерывности.}

Составить полное представление о случайной величине только по закону распределения часто бывает трудно. Поэтому возникает необходимость охарактеризовать случайную величину с помощью некоторых постоянных величин. Они выводятся на основе ее закона распределения.

Математическое ожидание - это число, которое выражает среднее значение случайной величины с учетом распределения. Математическое ожидание - важнейшая «характеристика положения» случайной величины.

Для дискретных величин она вычисляется по формуле

,

где x₁, x₂,...,x_n – возможные значения случайной величины,

p₁, p₂,,...,p_n.– их вероятности.

Для непрерывных случайных величин математическое ожидание это число, которое определяется формулой

(сходится).

Свойства математического ожидания:

• M(C)=C (С=const);

• M(CX)=CM(X) (С=const);

• M(X±Y)=M(X)±M(Y);

• M(XY)=M(X)M(Y) (для независимых случайных величин).

Характеристиками рассеивания возможных значений случайной величины вокруг математического ожидания являются дисперсия и среднеквадратичное отклонение.

Разность между случайной величиной и ее математическим ожиданием называется отклонением случайной величины Х от ее математического ожидания.

Для любой случайной величины Х верно равенство

Дисперсией случайной величины Х называется величина равная математическому ожиданию квадрата отклонения

.

При практических вычислениях используют формулу:

.

Для непрерывных случайных величин дисперсия вычисляется формулами:

,

.

Дисперсия характеризует меру рассеивания возможных значений случайной величины около ее математического ожидания. Из двух величин с равными математическими ожиданиями та считается «лучшей», которая имеет меньший разброс.

Свойства дисперсии:

• D(C)=0 (С=const);

• D(CX)=C²D(X) (С=const);

• D(XY)=D(X)+D(Y) (для независимых случайных величин).

Арифметический корень из дисперсии случайной величины называется среднеквадратическим отклонением:

.