Корреляционный анализ

Основной целью изучения причинно-следственной зависимости является выявление связей, закономерностей и тенденций развития. Причинно-следственная зависимость выражает соотношение между аргументом (причиной) и функцией (следствием).

Различают две основные формы причинных зависимостей: статистическую и функциональную. При функциональной зависимости каждому возможному значению аргумента поставлено в однозначное соответствие определенное значение функции, т.е. y= f(x).

Такого рода однозначные (функциональные) связи между переменными величинами встречаются редко. Например, между ростом (длиной тела) и массой человека существует положительная связь: более высокие индивиды имеют обычно и большую массу, чем индивиды низкого роста. То же наблюдается и в отношении качественных признаков: блондины, как правило, имеют голубые, а брюнеты — карие глаза. Однако из этого правила имеются исключения, когда сравнительно низкорослые индивиды оказываются тяжелее высокорослых, и среди населения, хотя и нечасто, встречаются кареглазые блондины и голубоглазые брюнеты. Причина таких “исключений” в том, что каждый признак является функцией многих переменных. На его величине сказывается влияние не только генетических факторов. В этих случаях зависимость между признаками приобретает не функциональный, а статистический характер. Статистическая связь состоит в том, что одна случайная переменная реагирует на изменение другой изменением своего закона распределения. Такого рода зависимость между переменными величинами называется корреляционной или корреляцией (термин “корреляция” происходит от лат. correlatio — соотношение, связь).

Статистические связи между переменными исследуются методами корреляционного и регрессионного анализа. Корреляционный анализ основан на использовании вероятностных моделей, описывающих поведение исследуемых признаков в некоторой генеральной совокупности, из которой получены экспериментальные значения x_i и y_i.

Основная задача корреляционного анализа - выявление связи между случайными переменными путем точечной и интервальных оценок. Метод корреляции применяется для того, чтобы при сложном взаимодействии посторонних влияний выяснить какой должна была быть зависимость между величинами, если бы посторонние факторы не изменялись и своим изменением не искажали основную зависимость.

Теория корреляции решает три основные задачи:

• определение корреляционных уравнений связи между двумя и более случайными величинами;

• определение тесноты связи и вероятности получаемых характеристик;

• обоснование методики проведения исследований по выявлению корреляционных связей.

Показателями тесноты связи между двумя случайными наблюдениями х и y является коэффициент корреляции:

,

, . и - соответствующие средние квадратичные отклонения, n - количество независимых наблюдений, - частота появления определенной варианты

где ,

где .

Коэффициент корреляции не изменяется при изменении начала отсчета и масштаба измерения величин х и y. Он удовлетворяет неравенству . Знак «+» указывает на связь прямую (увеличение или уменьшение одного признака сопровождается аналогичным изменением другого признака), знак «–» – на связь обратную (увеличение или уменьшение одного признака сопровождается противоположным по направлению изменением другого признака). Если r = ±1, то между величинами существует тесная линейная связь, если r=0, нет линейной корреляционной зависимости (но может быть нелинейная).

Для оценки тесноты связи используются специальные шкалы. В таблице №6 приводится шкала Чеддока.

Таблица №6

Количественные критерии оценки тесноты связи (шкала Чеддока)

Величина коэффициента корреляции	0,1-0,3	0,3-0,5	0,5-0,7	0,7-0,9	0,9-1,0
сила связи	слабая	умеренная	заметная	высокая	весьма высокая

Коэффициенты корреляции рассчитываются для выборочных данных и являются случайными величинами. После вычисления r возникает необходимость проверки гипотезы о значимости полученной оценки и распространении полученных результатов на генеральную совокупность. Для этого приходится допускать некоторую ошибку, которую можно оценить с помощью средней квадратичной ошибки или определенных критериев.

Для вычисления обычного коэффициента корреляции необходимо, чтобы исходные данные были выражены достаточно точно. Существуют такие количественные признаки, которые с трудом можно представить в виде точечных оценок. Кроме того, распределение одного из этих признаков или обоих может быть неравномерным. Чаще всего такие данные приходится обрабатывать социологам, психологам. В этом случае в статистике используются порядковые шкалы, и для исследования связи используются ранговые коэффициенты корреляции. Порядковый номер каждого признака в упорядоченной совокупности называется рангом. В основном используются два коэффициента ранговой корреляции – Спирмена и Кендала. Для расчета коэффициента ранговой корреляции Спирмена используется формула:

,

где - разница между рангами двух качественных признаков.

Пример. Проверялась психологическая подготовка к обучению в школе 10 детей по двум показателям в виде тестов. В итоге были получены следующие данные:

Тест I: 95, 90, 86, 84, 75, 70, 62, 60, 57, 50,

Тест II: 92, 93, 83, 80, 55, 60, 45, 72, 62, 70.

Найти выборочный коэффициент ранговой корреляции Спирмена между оценками по тестам.

Решение.

Присвоим ранги оценкам по тесту I. Эти оценки расположены в убывающем порядке, их ранги соответствуют порядковым номерам:

ранги : 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10

оценки по тесту I: 95, 90, 86, 84, 75, 70, 62, 60, 57, 50

Присвоим ранги оценкам по тесту II, для чего сначала расположим эти оценки в убывающем порядке и пронумеруем их: 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10

93, 92, 83, 80, 72, 70, 62, 60, 55, 45

Индекс при должен быть равен порядковому номеру оценки по тесту I группы.

Найдем ранг . Индекс указывает на то, что рассматривается оценка ребенка, который занимает по тесту I группы в ряду первое место (эта оценка равна 95); из условия видно, что по тесту II группы ребенок получил оценку 92, которая в ряду расположена на втором месте. Таким образом, ранг .

Найдем ранг . Индекс указывает на то, что рассматривается оценка ребенка, который занимает по тесту I группы в ранжированном ряде второе место. Из условия видно, что ребенок получил по тесту II группы оценку 93, которая в ряде расположена на первом месте. Таким образом, ранг .

Аналогично найдем другие ранги: , , , , , , , .

Выпишем последовательности рангов для обоих тестов:

1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10

2, 1, 3, 4, 9, 8, 10, 5, 7, 6

Найдем разности рангов: ; . Аналогично получим , , , , , , , .

Вычислим сумму квадратов разностей рангов:

.

Найдем искомый коэффициент ранговой корреляции Спирмена, учитывая, что :

.

Расчет коэффициента корреляции Кендалла производится по формуле:

,

где сумма рангов ,

объем выборки.

Абсолютная величина коэффициента ранговой корреляции Кендалла не превышает единицы:

Пример. Проверялась психологическая подготовка к обучению в школе 10 детей по двум показателям в виде тестов. В итоге были получены следующие данные:

Тест I: 95, 90, 86, 84, 75, 70, 62, 60, 57, 50,

Тест II: 92, 93, 83, 80, 55, 60, 45, 72, 62, 70.

Найти выборочный коэффициент ранговой корреляции Кендалла между оценками по тестам.

Решение.

Условие данной задачи совпадает с условием предыдущей.

При решении предыдущей задачи были получены две последовательности рангов:

1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10

2, 1, 3, 4, 9, 8, 10, 5, 7, 6

Справа от имеется рангов (3, 4, 9, 8, 10, 5, 7, 6), больших ; справа от имеется рангов, больших . Аналогично получим: , , , , , , . Следовательно, сумма рангов

Найдем коэффициент ранговой корреляции Кендалла, учитывая, что , :

.

Наиболее простым показателем тесноты связи является коэффициент Фехнера, основанный на подсчете знаков:

,

где - число совпадений знаков, - число несовпадений знаков отклонений отдельных значений каждого признака от своей средней величины. Коэффициент Фехнера может принимать значения от -1 до 1. Так как он зависит только от знаков и не учитывает величину самих отклонений от средних значений, то коэффициент Фехнера показывает лишь на наличие связи.