Статистические гипотезы

При статистическом анализе массива данных в социологии, экономике, биологии, медицине часто прибегают к выдвижению гипотез (умозаключений) и последующей их проверке.

Статистическими гипотезами называют предположения относительно вида распределения случайной величины или его отдельных параметров. Например, гипотеза о нормальном законе распределения производительности труда рабочих, гипотеза о том, что с увеличением стажа работы заработная плата увеличивается.

Сопоставление выдвигаемой гипотезы относительно генеральной совокупности, осуществляемое на основании анализа выборки, называется проверкой статистической гипотезы.

Статистические гипотезы можно классифицировать как гипотезы о законах распределения и гипотезы о параметрах распределения.

Виды задач, решаемых с помощью гипотез, делятся на 4 группы:

• способы проверки случайности, независимости и однородности результатов измерений;

• задачи по проверке средних значений и дисперсий для одной или двух нормально распределенных случайных величин;

• задачи по проверке гипотез о наличии линейной и множественной корреляции и регрессии;

• задачи по проверке закона распределения генеральной совокупности.

Любая статистическая гипотеза проверяется на основе статистического критерия - формулы (правила) с помощью которого определяется мера расхождения результатов выборочного наблюдения с высказанной гипотезой. В результате этой проверки выдвигаемая гипотеза либо отвергается, либо принимается.

Обычно рассматриваются две взаимоисключающие статистические гипотезы. Выдвигаемую на проверку гипотезу называют нулевой (Н₀), противоположную ей гипотезу называют конкурирующей, альтернативной (Н₁).

Выбор критерия для проверки статистических гипотез производят на основании различных принципов. Он сводится к использованию такого критерия (К), чтобы при заданном уровне значимости α, можно было найти критическую точку К_кр, которая разделила бы область значений на 2 части по отношению к нулевой гипотезе Н₀. Не существует единого, универсального критерия значимости – их приходится разрабатывать в теории и использовать на практике применительно к особенностям конкретных задач. В результате применения критерия возможны 4 случая:

• гипотеза Н₀ верна и она принимается согласно критерию;

• гипотеза Н₀ не верна и она отвергается согласно критерию;

• гипотеза Н₀ верна, но отвергается (ошибка первого рода);

• гипотеза Н₀ не верна, но она принимается (ошибка второго рода).

При проверке статистических гипотез используется понятие уровня значимости. Уровнем значимости α называется вероятность совершить ошибку I-го рода, т.е. отвергнуть верную гипотезу. Ошибка II-го рода (обозначается β) происходит при принятии неверной гипотезы. С уменьшением α возрастает вероятность ошибки β.

Множество значений изучаемой совокупности объектов с помощью критерия К разбивается на 2 части, при этом одна из них содержит значения, при которых нулевая гипотеза отвергается.

Критической называется область значений, при которых нулевая гипотеза отвергается. Областью принятия гипотезы является совокупность значений критерия при которых нулевая гипотеза принимается.

Различают одностороннюю (правостороннюю или левостороннюю) и двустороннюю критические области (т.е. области, где нулевая гипотеза отвергается). Правосторонней называется критическая область (нулевая гипотеза отвергается), если К > К_кр. Левосторонней называется критическая область, если К < К_кр. Двусторонней называется критическая область, которая определяется следующими неравенствами: К < К_1кр; К > К_2кр.. Для каждого критерия имеются соответствующие таблицы, по которым и находят критическую точку.

Сформулируем основные этапы проверки статистической гипотезы:

1. Выдвигается нулевая гипотеза Н₀ (т.е. предположение нуждающееся в проверке) и альтернативная гипотеза Н₁.

2. Задается величина уровня значимости α.

3. Задается некоторая функция от результатов наблюдения - (критическая статистика, которая сама является случайной величиной). В предположении о справедливости гипотезы Н₀ эта функция подчиняется некоторому хорошо изученному закону распределения и обычно задается в форме таблицы.

4. Из таблицы находят и точки, которые делят всю область на 3 части:

• область неправдоподобно малых значений;

• область вероятностных значений;

• неправдоподобно больших значений.

Рассмотрим более подробно задачу проверки гипотез о законе распределения, так как во многих практических задачах возникает необходимость определения закона распределения исследуемой случайной величины, проверка согласованности теоретических и эмпирических функций распределения. Такие гипотезы называются критериями согласия.

В этом случае, прежде всего выдвигается нулевая гипотеза H₀ о том, что случайная величина подчиняется конкретному теоретическому закону распределения F(х). Выдвинутая для проверки гипотеза проверяется по выборке из генеральной совокупности. Предварительно по выборке строится эмпирическая функция распределения исследуемой величины. Затем производится сравнение эмпирического и теоретического распределения с помощью специально подобранных, критериев согласия. Различают несколько критериев согласия: χ ² Пирсона, Колмогорова, Смирнова и др. Наиболее часто употребляется критерий согласия χ² Пирсона (хи-квадрат).

Критерий χ ² (хи квадрат - критерий К.Пирсона).

Правило применения критерия χ ² сводится к следующему алгоритму:

1. рассчитывается значение χ²;

2. выбирается уровень значимости критерия ;

3. по таблице распределения определяются критические точки χ²(k, ) если , то гипотеза отвергается, если , то гипотеза принимается.

Согласно критерию χ ²

,

где - частоты полученные эмпирическим путем,

- теоретические частоты соответствующие определенному распределению.

Распределение χ ² зависит от числа степеней свободы. При применении критерия Пирсона оно равно: - где r - число параметров предлагаемого теоретического закона, использованных для вычисления теоретических частот. Так для нормального закона число степеней свободы , - количество интервалов.

Критерий имеет ряд ограничений: он применим для рядов, имеющих большой объем выборки и достаточную величину частот в крайних интервалах. Количество интервалов, на которые разделяются данные, должно быть не менее пяти.

При проверке различных гипотез применяются различные формулы (статистики). Некоторые статистики для задач проверки гипотез приводятся в таблице №5.

Пример. По критерию проверить гипотезу о нормальном распределении генеральной совокупности при уровне значимости , , , , .

Решение.

,

значения функции берут из таблицы значений функции Лапласа (см. приложение №1)

1 2 3 4 5 6 7	1 1,3 1,6 1,9 2,2 2,5 2,8	-1,488 -0,79 -0,09 0,604 1,302 2 2,69	0,1315 0,292 0,3973 0,3332 0,1714 0,054 0,0107	9,205 20,44 27,811 23,324 11,998 3,78 0,749

Сравним эмпирические и теоретические частоты.

Рассчитаем .

1 2 3 4 5 6 7	5 13 26 24 19 10 3	9,205 20,44 27,811 23,324 11,998 3,78 0,749	-4,205 -7,44 -1,811 0,676 7,002 6,22 2,251	17,68 55,35 3,279 0,457 49,02 38,69 5,067	1,9206 2,707 0,117 0,019 4,086 10,24 6,765

По таблице критических точек распределения , уровню значимости и числу степеней свободы находим критическую точку правосторонней критической области . Так как , то гипотезу о нормальном распределении генеральной совокупности отвергают.

Таблица № 5

Статистики для задач проверки гипотез.

гипотеза	Статистика	границы	критерий
Гипотеза о значении генеральной средней нормальной совокупности: а) при известной генеральной дисперсии:	при - правосторонняя критическая область при - левосторонняя критическая область при -двусторонняя критическая область (нормированный закон распределения)	границы находят из условий Ф(tкр)=1-2α Ф(tкр)=1-α	если │tнабл│> tкр то гипотеза отвергается если │tнабл│≤ tкр гипотеза не противоречит опытным данным
б) при неизвестной генеральной дисперсии:	при - правосторонняя при - левосторонняя при - двусторонняя критическая область (распределение Стьюдента)	определяются по таблице t - распределения (уровень значимости = α; число степеней свободы n - 1 при односторонней области = 2α при двухсторонней =	│t│> tкр
Гипотеза о равенстве генеральных средних двух нормальных совокупностей: а) при известных генеральных дисперсиях:	(распределение Стьюдента)	границы находятся по таблице Ф(t)
б) при неизвестных генеральных дисперсиях:	(распр.Стьюдента)	(степень свободы)	Если │tнабл│> tкр то гипотеза отвергается, При │tнабл│≤ tкр гипотеза не противоречит опытным данным
Гипотеза о значении дисперсии генеральной совокупности (значения признака распределены по нормальному закону)		распределение xu-квадрат с (n-1) степенями свободы	если , то нулевая гипотеза H0: отвергается
Гипотеза о равенстве дисперсий двух генеральных совокупностей	, где и исправленные дисперсии (распределение Фишера-Снедекора (F - распределение))	границы ( определяют по таблице F	если , то гипотеза не противоречит опытным данным; если , то гипотезу отвергают.

На практике часто встречаются ситуации, когда среднее значение данных одного эксперимента отличается от среднего значения данных другого, хотя условия эксперимента являются схожими. Возникает вопрос: можно ли считать это расхождение случайным, незначимым или оно вызвано существенным различием двух генеральных совокупностей.

Пример. С целью постановки диагноза болезни врачом было произведено 12 измерений содержания сахара в крови у пациента. При этом среднее значение содержания сахара , стандартное отклонение . Затем через день было произведено 8 измерений и на этот раз ; а отклонение равно . Можно ли сделать вывод при 5% уровне значимости, что сахар в крови пациента был увеличен?

Решение. (Это задача проверки гипотезы о равенстве средних значений двух нормальных совокупностей при известных генеральных дисперсиях).

В качестве критерия справедливости статистической гипотезы используется статистика . Подставим данные задачи в формулу . Используя таблицу приложения 2 при , находим

;

.

Так как число не попадает в критическую область (конкретно в интервал ), то гипотеза принимается.

Пример. При определении некоторой величины при двух различных условиях получены следующие значения выборочных дисперсий с 2-мя степенями свободы (3 измерения) и с 12 степенями свободы (13 измерений). Требуется оценить гипотезу о равенстве соответствующих генеральных дисперсий и с уровнем значимости .

Решение. (Эта задача проверки гипотезы о сравнении двух дисперсий).

В качестве критерия справедливости статистической гипотезы используется функция , которая имеет распределение Фишера. Подставим данные задачи в формулу . Используя таблицу приложения 7 при и заданных степеней свободы и , находим . Так как число не попадает в критическую область (конкретно в интервал , то гипотеза принимается.

Пример. По результатам тестирования 9 студентов установлено, что среднее время тестирования . Предполагая, что время тестирования подчиняется нормальному распределению с дисперсией на уровне значимости , найти:

а) можно ли принять 50с в качестве нормативного времени (математического ожидания) выполнения теста?

б) можно ли принять за норматив 49с?

Решение. (Эта задача относится к проверке гипотезы о числовом значении математического ожидания при известной дисперсии)

а) по условию задачи нулевая гипотеза с. Так как , то в качестве альтернативной примем гипотезу , т.е. имеем случай 2 при . По изложенной схеме получаем . Подставив исходные данные , получаем . Так как число –2 попадает в критическую область , то гипотеза с отвергается и принимается ;

б) здесь нулевая гипотеза с, альтернативная . Снова имеет место случай 2 при . Так как не попадает в критическую область, то гипотеза с не отвергается и в качестве норматива времени тестирования нужно взять 49 с.