Законы распределения выборочных характеристик

Рассмотрим задачу нахождения на основе вариационного ряда общего закона распределения данного признака. На основе всестороннего анализа имеющегося распределения и изучения рассматриваемого признака выбирают из известных распределений определенный закон распределения в качестве предполагаемого теоретического закона распределения для рассматриваемого признака в генеральной совокупности.

Часто используемыми статистическими распределениями являются:

• нормальное распределение,

• ²-распределение (распределение Пирсона),

• t-распределение (распределение Стьюдента),

• F-распределение (распределение Фишера) [1,2].

Их значения можно найти в таблицах приложений.

Нормальный закон распределения случайной величины имеет вид:

По этой формуле при различных значениях среднего арифметического ( ) и среднеквадратичного отклонения ( ) получается семейство нормальных кривых. Нормальное распределение симметрично относительно и имеет следующие числовые характеристики: математическое ожидание a= , дисперсия , коэффициент асимметрии Аs=0, неприведенный коэффициент эксцесса Е_х = 3, приведенный коэффициент эксцесса γ = 0.

Для нормального распределения значения моды, медианы и среднего арифметического равны между собой.

При решении статистических задач во многих случаях применяется стандартное нормальное распределение, которое имеет параметры и , т.е. (0,1). Использование стандартного нормального распределения позволяет анализировать любое нормальное распределение на основе характеристик единичного нормального распределения. Значения функции нормального распределения протабулированы и приводятся в приложении №1.

Множество случайных величин имеют нормальное распределение, например, распределение приращений индексов развитых стран, курсы акций, распределение веса новорожденных и т.д. Для этих величин характерным является то, что на их формирование влияет большое число факторов, причем влияние каждого из них мало и ни один фактор не имеет значительного преимущества перед другими.

Оценивание числовых характеристик случайной величины и закона распределения

Выборочная характеристика, используемая в качестве приближенного значения неизвестной генеральной характеристики, называется ее точечной статистической оценкой. Она определяется одним числом. Ранее были рассмотрены выборочные среднее , дисперсия и .

Для выборок малого объема точечные оценки могут значительно отличаться от оцениваемого параметра. Однако, вопрос о точности получаемых оценок является очень важным. В связи с этим в математической статистике введено понятие интервальных оценок. Зная распределение случайной величины, находят соответствующие доверительные границы с требуемой точностью.

Интервальной оценкой для параметра θ называется такой интервал со случайными границами, что .

Вероятность называется надежностью интервальной оценки или доверительной вероятностью, случайные величины. – доверительными границами, а сам интервал называется доверительным интервалом. Центром этого интервала является значение точечной оценки .

Надежность принято выбирать равной 0.95, 0.99, в этом случае событие, состоящее в том, что интервал покроет параметр , будет практически достоверным. Для параметров нормального распределения формулы для расчета доверительных интервалов оценки математического ожидания при известном и неизвестном значении приводятся в таблице №4.

Таблица №4

Параметр	Доверительный интервал	Статистическая оценка
Математическое ожидание при известном σ	, где - точность оценки n объем выборки t - значение аргумента функции Лапласа Ф(t) а - математическое ожидание σ-среднеквадратическое отклонение	,
Математическое ожидание при неизвестном σ	- выборочная средняя S - исправленное среднеквадратическое отклонение tγ- находится по таблице прилож. 3 по заданным n и γ n -объем выборки	распределение Стьюдента, степень свободы k = n - 1

Например, для оценки математического ожидания генеральной совокупности нормально распределенного признака по выборочной средней и известном среднеквадратическом отклонении генеральной совокупности применяется формула:

.

При этом t определяется по таблицам функции Лапласа из соотношения

,

где - среднеквадратическое отклонение; n - объем выборки.

Пример. Хозяин ресторана хотел бы знать в пределах какой суммы денег может быть оплата за обед с доверительностью 95%. Случайная выборка объемом n=36 дает выборочное среднее значение: 6,5 у.е., стандартное отклонение составляет 3 у.е. Распределение считать нормальным.

Решение. Воспользуемся данными из таблицы приложения №2. Для этого из выражения где Ф - функция Лапласа, n = 36, σ = 3, δ - точность оценки, γ=0,95, найдем t. Получаем , t=1,96, тогда . доверительный интервал будет равен . т.е. с вероятностью 0,95 средняя плата за обед находится в интервале 5,52-7,48 у.е.