Качественный и количественный анализ устойчивости динамической системы по значениям корней характеристического уравнения.

1. Качественный анализ устойчивости.

2. Число форм движения.

– общее число форм,

– корней вещественного типа ,

– корней комплексно – сопряженных .

,

.

Для динамической системы определяется число форм движения с корнями вещественного типа и число форм движения колебательного типа с комплексными корнями .

Общее число форм движения равно сумме форм движения с вещественными и комплексными корнями.

3. Характеристика движения по формам в порядке возрастания и убывания .

На данном этапе анализа определяются обобщенные показатели:

Затем указывается характер движения по первой форме и запасы устойчивости по величине вещественной части корня.

Характеристика длиннопериодического и короткопериодического движения.

В зависимости от типа самолета определим на комплексной плоскости области расположения корней внутри окружности радиусом , внутри кольца с радиусами и , в оставшейся области.

В соответствии с расположением корней относительно выбранных границ в динамике движения определяют следующие формы:

1. Короткопериодическое движение.

Частота короткопериодического движения обычно составляет несколько Герц (1-5 Гц). Примерами короткопериодического движения является движение по углу тангажа, по перегрузке, по углам крена, рыскания и атаки.

2. Длиннопериодическое движение.

Длиннопериодическое движение происходит с частотами, равными десятым и сотым долям Герца и описывает движение самолета по высоте, скорости, углу наклона траектории, боковой дальности.

3. За границей короткопериодического движения расположены частоты быстрого колебательного движения, связанного с аэро–упругими колебаниями. Частота колебательного движения при деформации конструкции самолета составляет от нескольких (5-10 Гц) до 100 и более. Такое колебательное движение иногда называют вибрацией.

В соответствии с разделением корней принимается гипотеза о «замороженном» движении длиннопериодических переменных в процессе изменения тех координат, которые описывают короткопериодическое движение. Изменение высоты, скорости, угла наклона траектории не учитываются, и сами переменные считаются постоянными за время изменения короткопериодических составляющих: угла атаки, перегрузки и т.д.

При расчете длиннопериодических координат самолет считается сбалансированным в угловом движении и по перегрузкам. Для расчета движения центра масс используются усредненные значения перегрузки и балансировочные значения углов.

Характеристическое уравнение системы в целом:

Для решения практических задач с использованием Mat lab используются стандартные программы.

Алгебраические критерии устойчивости Раусса и Гурвица.

Выбор критериев алгебраической устойчивости определяется постановкой следующей задачи:

определить алгебраические показатели, которые зависят только от коэффициентов характеристического уравнения и позволяют судить об устойчивости динамической системы и отсутствии неустойчивых корней.

Дано:

Требуется:

Решение Раусса:

	№ строк	Номер столбца
		1	2	3	4
	1	a0	a2	a4	a6
	2	a1	a3	a5	a7
r0=a0/a1	3	C13=a2-r0a3	C23=a4-r0a5	C33=
r1=a1/a3	4	C14=a3-r1C23	C24=a5-r1C33	C34=

Теорема Раусса:

Линейная динамическая система с заданными коэффициентами характеристического уравнения будет устойчивой и все корни будут лежать в левой полуплоскости, если значения всех коэффициентов таблицы Раусса больше или равно нулю.

Если для коэффициентов Раусса выполняются строгие неравенства:

,

то линейная динамическая система будет асимптотически устойчивой.