Техническая интерпретация и практическое приложение.
Устойчивость при исчезающее–малых воздействиях интерпретируется как возврат технической системы в устойчивое положение после импульсных воздействий, аналогами которого является дача рулей самолета в установившемся полете.
Графическая интерпретация.
При построении импульсной переходной функции длительность импульса стремится к нулю, его величина стремится к бесконечности, а интеграл от импульсной функции по времени равен 1.
Устойчивость и управляемость автоматических систем.
Рассматривается динамика линейной системы, ранее находившейся в состоянии равновесия при постоянном управляющем воздействии.
–фазовые
координаты,
–управляющий
вектор.
– матрицы
динамических коэффициентов (матрицы
координат и управления).
Рассматривается состояние равновесия линейной динамической системы в начальный момент времени.
Понятие управляемости
для автоматических систем интерпретирует
следующее свойство: линейная динамическая
система называется управляемой,
если на интервале
можно указать такое управляющее
воздействие
,
которое переводит линейную систему в
состояние
.
По теореме Ляпунова необходимо, чтобы при любом заданном изменении существовала такая величина , чтобы выполнялись условия:
при
Интерпретация для технических систем.
Рассматривается реакция динамической системы на ступенчатое управляющее воздействие. Требуется, чтобы за время срабатывания или за время переходного процесса система достигла требуемого фазового состояния .
В техническом приложении допустимое отклонение составляет 5% от величины изменения фазовой координаты за время переходного процесса.
Замечание: Устойчивость по Ляпунову определяется для свободного движения динамической системы при начальном отклонении.
Устойчивость линейной динамической системы при исчезающее–малых импульсных воздействиях и управляющих ступенчатых воздействиях характеризуют вынужденное движение при внешних воздействиях заданного типа. В этом случае траектория динамической системы определяется как сумма общего решения дифференциального уравнения и частного решения.
1.9 Статические и астатические системы
Рассматривается замкнутая система управления с единичной обратной связью.
Поведение замкнутой системы характеризуется двумя передаточными функциями:
Передаточной функцией по выходной координате на входное воздействие:
;
Передаточной функцией по ошибке на входное воздействие
.
Передаточные функции для замкнутой системы с единичной отрицательной обратной связью определяются по формулам:
;
.
Система с единичной отрицательной обратной связью представляет собой следящую систему.
При постоянном входном сигнале координата на выходе и величина ошибки слежения определяются по формулам:
;
Определение статической системы:
Линейная система
называется статической,
если при постоянном входном воздействии
ошибка слежения пропорциональна величине
постоянного входного воздействия
.
Передаточную функцию астатической разомкнутой системы представим в виде:
,
где
-коэффициент усиления.
Предел значения передаточной функции при стремлении оператора Лапласа к нулю равен коэффициенту усиления.
.
При постоянном входном сигнале координата на выходе и величина ошибки слежения для статической системы определяются по формулам:
;
Относительная ошибка снижения для статической системы обратно пропорциональна коэффициенту усиления:
.
Статическая система регулирования не является идеальной следящей системой. Значение координаты на выходе не равно входной координате. Относительное значение координаты на выходе по отношению к входной координате составляет:
