Примеры решения задач по определению передаточной функции.

Пример 1:

Дано:

Определить:

Пример 2:

Дано:

Определить:

Операторная форма уравнений:

Пример 3:

Дано:

Определить:

4. Гармонический анализ элементов систем управления. Преобразование Фурье. Логарифмические амплитудные и фазовые частотные характеристики.

Гармонический анализ исследует характеристики колебаний на выходе элемента систем управления, либо на выходе технической системы в целом в зависимости от частоты гармонического сигнала на входе.

Для устойчивых элементов системы управления на выходе формируется гармоническое колебание с той же частотой, но с другой амплитудой и сдвинутая по фазе.

Амплитудной характеристикой линейной системы называется соотношение амплитуд колебаний на выходе и на входе.

Фазовая характеристика представляет собой разность фаз колебаний сигнала на выходе и на входе.

На фазовой плоскости годографы входного и выходного сигнала описывают окружности разного диаметра.

На практике для определения амплитудной и фазовой частотной характеристик используют генератор частоты, и характеристики по времени входного и выходного сигналов регистрируются осциллографом.

Соотношение радиусов окружностей сигнала на выходе к входу определяют амплитудную характеристику, а фазовое запаздывание сигнала на выходе по отношению к входному – фазовую характеристику.

Для вычисления частотных характеристик используется оператор Фурье, который связан с оператором Лапласа соотношением:

где – вещественная часть передаточной функции,

– мнимая часть передаточной функции.

ω	P	Q
ω1	P1	Q1
ω2	P2	Q2
ω3	P3	Q3

Соотношение между значениями вещественной и мнимой части на комплексной плоскости определяет координаты годографа передаточной функции и называется диаграммой Найквиста.

На практике частотные характеристики определяются

• для предельно-низких частот колебаний

• для частоты собственных колебаний (резонансной частоты).

• для

Для графического представления трех характерных диапозонов частот колебаний используется логарифмическая шкала.

Для быстрых расчетов используют асимптотические частотные характеристики:

Первая асимптота:

Вторая асимптота:

Построенные графики представляют собой логарифмические амплитудно-фазовые частотные характеристики (ЛАФЧХ). По данным характеристикам определяются следующие показатели:

• полоса пропускания или частота среза;

• запас устойчивости по амплитуде и по фазе;

• резонансные частоты.

1. До – полоса пропускания, – частота среза.

– сигнал усиливается, – гармонический сигнал гасится.

2. Запас устойчивости по амплитуде и по фазе .

3. Характеристики и резонансные частоты.

5. Исследование систем управления во временной области.

Исследования во временной области представляют собой определение реакции линейной системы на ступенчатое, импульсное, либо другое характерное воздействие.

Реакция линейной системы на единичный ступенчатый сигнал представляет собой переходный процесс. По переходному процессу можно судить об устойчивости системы и о характеристиках переходного процесса.

– время срабатывания;

– время переходного процесса;

–величина относительного перерегулирования.