3.15 Устойчивость нелинейной системы при исчезающе малых воздействиях.
Реакцию нелинейной системы на исчезающе малые воздействия с использованием импульсной переходной функции.
импульсная
переходная функция линейной системы
Преобразования Лапласа:
Определение Ляпунова устойчивости нелинейной системы при исчезающее-малых воздействиях:
Нелинейная
динамическая система при внешних
исчезающее-малых воздействиях считается
устойчивой, если при ограниченном по
модулю входном воздействии
можно указать такое малое число
,
что:
Т.о.положение
равновесия y=0
называется устойчивым для нелинейной
системы если при стремлении внешнего
воздействия к 0 после достижения max
значения
выходной
координаты совершает колебания с
амплитудой не более
относительно
положения равновесия.
Основные понятия и определения:
1) Если можно указать
такую
,
что при
выполняется
условие устойчивости Ляпунова для
нелинейных систем и при
условие
Ляпунова не выполняется, то нелинейная
система называется устойчивой в большом
и малом при
;
а при
система устойчива в малом и неустойчива
в большом.
2) Если
и
нелинейная система устойчива при любой
,
то нелинейная система называется
устойчивой в целом.
3.16 Устойчивость нелинейной системы с характеристикой заданного класса.
Рассмотрим нелинейную систему с нелинейной характеристикой F(x), обладает свойствами определенного класса.
При выполнении данных соотношений нелинейный элемент представляет собой элемент класса H с ограничением коэффициента усиления.
Интерпретация класса нелинейного элемента:
при
Последний нелинейный элемент (идеальное реле) относится к классу элементов с бесконечным коэффициентом усиления.
Т.о. в случае неоднозначной нелинейной характеристики с гистерезисом возможно изменение коэффициента усиления по знаку, т.е. отрицательная обратная связь при определенных условиях движения приобретает свойство положительной обратной связи.
Постановка задачи синтеза линейной части для обеспечения устойчивости замкнутой системы с нелинейной характеристикой заданного класса.
Рассмотрим линейную часть с передаточной функцией апериодического и колебательного звеньев.
Рассмотрим нелинейную систему с апериодической передаточной функцией линейной части. Система является устойчивой в целом при любом коэффициенте усиления в цепи обратной связи.
Данное утверждение справедливо для класса нелинейных элементов с бесконечно большим коэффициентом усиления.
Рассмотрим линейную часть в виде колебательного звена:
В случае линейной части с передаточной функцией колебательного звена замкнутой системы с отрицательной обратной связью и нелинейностью в цепи обратной связи сохраняет устойчивость.
Условие устойчивости соблюдается и для класса функций с бесконечным коэффициентом усиления.
Годограф Найквиста:
Рассмотрим передаточную функцию более высокого порядка:
Для линейной системы выше 2-го порядка ставится задача определения max коэффициента усиления H в цепи обратной связи для обеспечения устойчивости замкнутой системы. Если решение задачи существует, то max коэффициент усиления H определяющий класс нелинейного элемента, гарантирует устойчивость замкнутой системы.