3.17 Устойчивость динамической системы с нелинейным элементом в цепи обратной связи.

Рассмотрим динамическую систему, описываемую следующей структурной схемой:

Нелинейная функция относится к классу однозначных характеристик с ограниченными значениями секущей и касательной, проведенные из начала координат.

Требуется определить расположение годографа линейной части на комплексной плоскости, обеспечивающая устойчивость замкнутой системы с нелинейной характеристикой заданного класса.

Рассмотрим передаточную функцию замкнутой системы при max значении коэффициента усиления нелинейного элемента в цепи обратной связи.

Условие устойчивости:

если

Нелинейная система с нелинейным коэффициентом класса H в цепи обратной связи будет обладать устойчивостью, если годограф передаточной функции линейной части не охватывает точку с координатами расстояние по вещественной оси от критической точки до годографа представляет собой запас устойчивости по амплитуде, а угол поворота критической точки относительно начала координат до годографа представляет собой запас устойчивости по фазе.

3.18 Критерий устойчивости Попова для нелинейной системы общего вида.

Теорема Попова определяет условие абсолютной устойчивости динамических систем с линейной частью и нелинейными элементами класса H в цепи обратной связи.

Рассматривается структурная система динамической системы замкнутого типа:

Частным случаем является условие, что .

Теорема Попова определяет условие абсолютной устойчивости для линейной системы с произвольной нелинейной функцией из подкласса в цепи обратной связи.

1) Рассмотрим случай нелинейной функции F(x), удовлетворяющей следующим условиям:

Для оценки устойчивости Попов предложил вычислить годограф функции .

Теорема абсолютной устойчивости Попова:

Если существует такое число , при котором вещественная часть функции Попова всегда положительна при любой частоте, то замкнутая система обладает устойчивостью с любой нелинейной функцией заданного класса H.

Геометрическая интерпретация:

Запишем годограф линейной части:

Введем преобразованную передаточную функцию:

где

Вещественная и мнимая части представляют собой четные функции частоты. Для положительной определенности вещественной части функции Попова должны выполняться следующие условия:

устойчивая замкнутая система замкнутая неустойчивая система

с нелинейным элементом класса H

Линейная система с произвольной нелинейной функцией класса H в цепи обратной связи будет устойчива, если из критической точки с координатой можно провести касательную с тангенсом угла , которая не будет пересекать годограф преобразованной передаточной функции с вещественной частью и мнимой .

Рассмотрим годограф передаточной преобразованной функции аналогичный апериодическому звену:

Теорема Попова для линейной системы, устойчивой в замкнутом состоянии:

В этом случае коэффициент усиления в цепи обратной связи ограничен допустимым min и max коэффициентом усиления

Для устойчивости замкнутой системы неустойчивой в разомкнутом состоянии нелинейная функция в цепи обратной связи должна обладать следующими свойствами:

Функция Попова для неустойчивой системы:

Для устойчивости замкнутой системы вещественная часть функции Попова должна быть больше 0.