3.5 Исследование устойчивости нелинейных динамических систем по линеаризованным моделям

Рассмотрим нелинейную динамическую систему, описываемую ДУ в форме Коши:

Для данной системы определим балансировочный режим полета по силам и моментам:

опорный режим

Возмущенное движение относительно опорного описывается приращением координат и управления:

Методом линеаризации определяем уравнение возмущенного движения:

Значения частных производных называются динамическими коэффициентами и линеаризованная система представляет собой следующие математические формы:

1) Система линейных ДУ

2) Математическая форма линейной динамической системы

матрица динамических коэффициентов или матрица коэффициентов линеаризации.

матрица коэффициентов управления.

Если A=A(f), то система нестационарная; если A=const, то система стационарная и автономная.

Характеристическим уравнением линеаризованной математической модели называется полином, определяемым значением определителя.

-окрестностью движения линеаризованной системы относительно опорной траектории называется такая область допустимых отклонений:

внутри которой сохраняется условие устойчивости и близость динамических характеристик. Т.е. при отклонении фазовых координат менее допустимых значений на интервале времени t, отклонения координат не превысят величины .

Теорема Ляпунова:

1) Если линеаризованная система ДУ является устойчивой, то и нелинейная система является устойчивой в –окрестности.

2) Если линеаризованная система ДУ является неустойчивой или нейтральной в окрестности опорной траектории, то и нелинейная система является устойчивой.

3) Линеаризованная система называется асимптотически-устойчивой в –окрестности опорной траектории, если при выполнении неравенства:

Для линеаризованной системы при заданных характеристиках нелинейной системы можно указать следующие области:

1) –окрестность, внутри которой соблюдается условие устойчивости нелинейной системы при устойчивости линеаризованной модели и совпадают их характеристики во временной области с заданной точностью.

Если -линеаризованная модель устойчива и нелинейная модель устойчива.

Ошибкой линеаризации ( ) называется разность вычислений:

Погрешность линеаризации зависит от начального отклонения вектора координат от опорного (расчетного) значения.

2) Областью устойчивости нелинейной системы называют область значений фазовых координат, внутри которой нелинейная и линеаризованная система являются устойчивыми, но временные характеристики существенно различаются.

3.6 Методы исследования устойчивости нелинейной системы по линеаризованным моделям.

Исследование устойчивости нелинейной системы включает определение следующих факторов:

1) расчет балансировочного значения нелинейных координат.

Эта задача решается методом расчета корней системы нелинейных алгебраических уравнений

Дано:

Требуется определить:

При значении координат системы, соответствующих корням нелинейного уравнения, динамическая система находится в положении равновесия. Для всех положений равновесия ставится задача исследования на устойчивость.

2) Для опорных режимов полета, соответствующих положению равновесия, требуется определить устойчивость нелинейной системы в –окрестности.

Данная задача решается на основе замены нелинейной модели линеаризованной и определение устойчивости линеаризованной математической модели методом корней характеристического уравнения Раусса-Гурвица по коэффициентам полинома или по устойчивости передаточной функции динамической системы.

динамический коэффициент

характеристическое уравнение

Рассмотрим определение передаточной функции для нелинейной динамической системы следующего вида:

Передаточные функции по отклонению 1-ой и 2-ой координат и содержат нулевой полюс p=0 линеаризованная система находится на границе устойчивости и нелинейная система не будет обладать устойчивостью.

Для исследования свойств передаточных функций линеаризованных систем могут быть использованы стандартные программы MatLab для расчета карты нулей и полюсов, запасов устойчивости по амплитуде и фазе диаграммы Bode (ЛАФЧХ). Об устойчивости можно судить по реакции на ступенчатый сигнал, импульсное воздействие и по годографу передаточной функции.