Среднее и действующее значения синусоидального тока

Под средним значением величины, изменяющейся по синусоидальному закону, понимают среднее значение этой величины за половину ее периода. Так, среднее значение синусоидального тока

Аналогично, среднее значение синусоидального напряжения и ЭДС:

Обычно о величине периодических ЭДС, напряжений и токов судят по их средним квадратичным значениям за период, которые называют действующими значениями ЭДС, напряжения или тока и обозначают, соответственно, как E, U, I.

П од действующим значением синусоидального тока i(t), понимают такой постоянный ток I, который при протекании через резистор с сопротивлением R выделяет такое же количество тепла, что и синусоидальный ток за время, равное одному периоду синусоидального тока:

.

Откуда

Действующие значения ЭДС и напряжения определяют аналогичными соотношениями:

, .

Большинство систем измерительных приборов измеряют действующие значения токов и напряжений, поэтому расчеты в цепях синусоидального тока чаще всего выполняют по действующим значениям.

Представление синусоидальных токов и напряжений векторами. Комплексные токи и напряжения

Расчет цепей переменного тока существенно упрощается, если синусоидальные ЭДС, напряжения и токи, изменяющиеся с частотой ω заменить их изображениями на комплексной плоскости в виде векторов, вращающихся с угловой скоростью, равной ω. Причем длины векторов пропорциональны амплитудам ЭДС, напряжения или тока. Комплексные изображения позволяют совместить простоту и наглядность векторных диаграмм с возможностью проведения точных аналитических расчетов.

Синусоидальную функцию изображают на комплексной плоскости вектором , сдвинутым относительно оси действительных чисел на угол ψ_a, равным начальной фазе синусоидальной функции. Положительные углы отсчитывают от оси (+1) против движения часовой стрелки, а отрицательные - по направлению движения. Длина вектора в выбранном масштабе равна её амплитудному значению (рис. 3.2).

Л юбому вектору , расположенному на комплексной плоскости, однозначно соответствует комплексное число, которое может быть записано в трех формах:

показательной - ,

где модулем комплексного числа равен амплитудному значению синусоидальной функции А_m;

ψ_a – аргумент комплексного числа, соответствующий начальной фазе синусоидальной функции

тригонометрической - ;

алгебраической - ,

где - действительная (вещественная) часть комплексного числа;

- мнимая часть комплексного числа.

Для перехода от алгебраической формы записи к показательной модуль комплексного числа находят с помощью теоремы Пифагора (рис. 3.2), а аргумент – путем определения арктангенса соответствующего отношения:

; .

Таким образом,

Алгебраическая форма удобна при сложении и вычитании комплексных величин, а показательная при умножении, делении, возведении в степень и извлечении корня.

Мнимая единица называется оператором поворота на угол π/2 = 90⁰.

Умножение на j = e ^jπ/2 сводится к повороту вектора против хода часовой стрелки на 90⁰, а умножение на –j = e ^-jπ/2 – к повороту вектора по ходу часовой стрелки на 90⁰.

Часто при расчетах используют действующие значения синусоидальных функций, в этих случаях целесообразно на векторной диаграмме длину векторов выбирать равной, в избранном масштабе, действующим значениям ЭДС, напряжений или токов.

Комплексное действующее значение меньше комплексного амплитудного значения в раз:

.

Аналогично записывают комплексные значения тока, напряжений и ЭДС. Например, мгновенное значение синусоидального тока заменяют комплексным амплитудным значением или комплексным действующим значением .

На рис. 3.3 изображены две синусоидальные ЭДС , в виде векторов в момент времени t=0.

Пусть необходимо найти ЭДС е(t)=е₁(t)+е₂(t). В этом случае мы можем перейти от действий над функциями времени к действиям над их изображениями с помощью векторов (рис. 3.3). Тогда эту ЭДС е(t) изобразим вращающимся вектором, равным геометрической сумме векторов, изображающих ЭДС е₁(t) и е₂(t).

В любой момент времени взаимное расположение этих вращающихся векторов остается неизменным, поэтому достаточно построить вектора в момент времени, равный нулю, и все операции выполнять над ними.

Совокупность векторов, характеризующих процессы, происходящие в той или иной цепи синусоидального тока, и построенных с соблюдением правильной ориентации их друг относительно друга для момента времени равного нулю, называют векторной диаграммой.

Ч асто при расчетах используют действующие значения синусоидальных функций, в этих случаях целесообразно на векторной диаграмме длину векторов выбирать равной, в избранном масштабе, действующим значениям ЭДС, напряжений или токов.

На рис. 3.4 изображена векторная диаграмма напряжения и тока, причем ток отстает от напряжения на угол φ, который на векторной диаграмме всегда показывают стрелкой, направленной от вектора тока к вектору напряжения.