Переходные процессы в линейных электрических цепях

Цель работы: исследование переходных процессов в линейных электрических цепях постоянного тока.

Теоретические сведения

Переходными процессами называют процессы перехода от одного установившегося режима в электрической цепи к другому установившемуся режиму. Переходные процессы возникают в электрических цепях вследствие коммутации, то есть подключения или отключения источников энергии или элементов цепи, а также в результате скачкообразного изменения параметров R, L, C элементов цепи. Считают, что коммутация в цепи происходит мгновенно, то есть при t=0.

Переходные процессы не возникают в цепях, содержащих только резистивные элементы. Возникновение переходных процессов в электрических цепях связано с наличием в них индуктивных и емкостных элементов, так как эти элементы являются инерционными элементами, то есть изменение энергии электрического или магнитного поля в них не может происходить мгновенно.

Теоретически длительность переходного процесса бесконечно велика, а практически она измеряется долями секунды. Переходные процессы чаще всего длятся десятые, сотые, а иногда и миллионные доли секунды, и очень редко их длительность составляет секунды и десятки секунд.

Тем не менее, изучение переходных процессов весьма важно, так как во время переходного процесса токи или напряжения на некоторых элементах цепи могут во много раз превышать номинальные значения, на которые рассчитаны эти элементы.

В ряде электротехнических устройств и особенно в устройствах промышленной электроники переходные процессы являются основными процессами их работы.

Законы коммутации

Энергия магнитного поля катушки и энергия электрического поля конденсатора определяются выражениями:

, .

Скачкообразное изменение энергии требует бесконечно больших мощностей, так как

,

что лишено физического смысла. Из энергетических соотношений очевидно, что ток в индуктивном элементе и напряжение на емкостном элементе не могут изменяться скачком. Для этих величин в момент коммутации можно записать равенства, называемые законами коммутации. Законы коммутации лежат в основе анализа переходных процессов.

Первый закон коммутации: в любой ветви с индуктивной катушкой ток и потокосцепление в момент коммутации сохраняют те же значения, которые они имели непосредственно перед коммутацией, и дальше начинают изменяться именно с этих значений:

Второй закон коммутации: в любой ветви напряжение и заряд конденсатора в момент коммутации сохраняют те же значения, которые они имели непосредственно перед коммутацией, и дальше начинают изменяться именно с этих значений:

Классический метод расчета переходных процессов

Рассчитать переходный процесс – это значит определить функцию изменения во времени тока i(t) или напряжения u(t) при переходе цепи из одного (докоммутационного) установившегося состояния в другое (послекоммутационное) установившееся состояние.

Значения переходных функций в момент времени, равный нулю, называют начальными условиями и обозначают как i(0+), u(0+) или i(0), u(0).

Начальные значения, которые определяют по законам коммутации, то есть i_L(0+) и u_C(0+), называют независимыми начальными условиями. А начальные значения любых других электрических величин называют зависимыми начальными условиями, например u_L(0+), i_C(0+), и так далее.

Переходные процессы в любой электрической цепи с постоянными параметрами R, L, C описывают дифференциальными уравнениями, составленными в соответствии с законами Кирхгофа для мгновенных значений токов и напряжений. Решение дифференциальных уравнений с постоянными коэффициентами можно проводить различными методами: классическим, операторным и др.

В данной лабораторной работе расчет переходных процессов проводят классическим методом.

Решение дифференциального уравнения записывают в виде суммы двух решений: частного и общего. Частное решение неоднородного дифференциального уравнения с постоянными коэффициентами называют принужденной составляющей, а общее решение однородного уравнения - свободной составляющей.

Тогда переходная функция может быть записана:

Принужденная составляющая переходной функции определяется частным решением неоднородного дифференциального уравнения, составленного для послекоммутационной цепи. И при синусоидальных и при постоянных токах частное решение дифференциального уравнения характеризует новый установившийся режим.

Принужденную составляющую находят путем определения тока или напряжения в установившемся послекоммутационном режиме работы цепи, когда переходный процесс практически закончился (теоретически он длится бесконечно долго).

При расчете принужденных значений необходимо помнить:

- напряжение на зажимах индуктивной катушки в цепи постоянного тока равно нулю, то есть индуктивная катушка в установившемся режиме в цепи постоянного тока представляет собой проводник с нулевым сопротивлением;

- в ветви с конденсатором не протекает постоянный ток и конденсатор, включенный в цепь постоянного тока, представляет собой разомкнутый участок цепи.

Свободная составляющая переходного процесса представляет собой общее решение однородного уравнения для послекоммутационной схемы, т.е. при отсутствии источников энергии в схеме. Выражение для свободной составляющей содержит постоянные интегрирования и зависит от вида корней характеристического уравнения

, ,

где А₁, А₂ и В₁, В₂ – постоянные интегрирования;

р₁, р₂ – корни характеристического уравнения, они представляют собой постоянные числа, не зависящие от времени; количество слагаемых определяется числом корней характеристического уравнения.

Характеристическое уравнение можно составить двумя способами:

первый способ предполагает замену производных искомой функции в однородном дифференциальном уравнении на рⁿ, где n - степень соответствующей производной;

второй способ состоит в определении входного сопротивления Z(p) относительно любых разомкнутых зажимов пассивной части послекоммутационной схемы, в которой все источники электрической энергии исключены, а реактивные индуктивные и емкостные элементы заменены на операторные сопротивления pL и 1/pC.

Полученное выражение приравнивают к нулю (Z(p)=0) и решают алгебраическое уравнение относительно корней р_к.

Корни характеристического уравнения всегда отрицательны, поэтому слагаемые свободной составляющей представляют собой затухающие экспоненты.

Постоянные интегрирования А_К находят с помощью начальных значений искомых функций.

Постоянные интегрирования определяют следующим образом: в случае решения дифференциального уравнения первой степени постоянную интегрирования находят из выражения искомой величины для t=0:

Значения функций и их производных в момент времени t=0 находят путем решения уравнений, составленных по законам Кирхгофа для послекоммутационной схемы и первых производных этих уравнений, рассмотренных при t=0.

При расчете переходных процессов в ряде случаев наиболее целесообразно в первую очередь определять функции и , начальные значения которых и известны из законов коммутации и далее через них находить искомые функции по законам Ома и Кирхгофа, записанным в дифференциальной форме.

Время переходного процесса зависит от времени затухания свободной составляющей и определяется через постоянную времени τ = . Переходный процесс практически заканчивается через время t_пп=3÷5τ.