Эквивалентные преобразования пассивной части электрической цепи

С целью упрощения расчета электрической цепи часто оказывается целесообразным осуществить эквивалентное преобразование некоторой части цепи.

Часть цепи до преобразования эквивалентна этой же части после преобразования при условии, что режим в остальной не преобразованной части схемы остается неизменным. То есть разность потенциалов между зажимами преобразованной части схемы остается такой же, как и напряжение на зажимах не преобразованной части схемы, а так же входной ток преобразованной части схемы остается неизменным.

Ветвь может содержать любое число последовательно соединенных элементов цепи. При этом последовательным соединением участков электрической цепи называют соединение, при котором через все участки цепи проходит один и тот же ток.

Напряжение на зажимах такого участка цепи равно сумме напряжений на каждом из ее элементов (рис. 1.15):

Если мы хотим заменить участок цепи, состоящий из нескольких последовательно соединенных элементов, одним эквивалентным, то напряжение на нем будет равно: .

Учитывая условия эквивалентного преобразования, получаем: ,

то есть при последовательном соединении элементов сопротивление цепи равно сумме сопротивлений составляющих ее элементов.

Параллельным соединением участков (ветвей) электрической цепи называют соединение, при котором все участки цепи присоединены к одной паре узлов и на всех этих участках имеется одно и то же напряжение (рис. 1.16).

Рис. 1.16

При этом ток на входе цепи равен сумме токов параллельных ветвей:

В том случае, если необходимо заменить участок электрической цепи, состоящий их нескольких параллельно соединенных элементов, одним эквивалентным, то ток такого эквивалентного элемента будет определяться:

Учитывая условия эквивалентного преобразования, можно записать:

или ,

то есть при параллельном соединении приемников для получения эквивалентной проводимости, складывают проводимости параллельных ветвей.

Отсюда можно получит формулу для определения эквивалентного сопротивления:

.

Для случая параллельного соединения двух ветвей это выражение буде иметь вид:

При расчете электрических цепей возникает необходимость взаимных эквивалентных преобразований звезды сопротивлений (рис. 1.17, а) и треугольника сопротивлений (рис. 1.17, б). Соединения звездой и треугольником эквивалентны друг другу при условии, что при одинаковых для двух схем напряжениях U₁₂, U₂₃, U₃₁ между точками 1, 2 и 3, токи I₁, I₂, I₃, подходящие к этим точкам от остальной части цепи, также одинаковы в обоих случаях.

Формулы для определения сопротивлений лучей звезды через сопротивления сторон треугольника имеют вид:

Рис. 1.17

Формулы для расчета сопротивлений сторон треугольника через сопротивления лучей звезды имеют вид:

Расчет электрических цепей путем непосредственного применения законов Кирхгофа

Если известны величины всех сопротивлений электрической цепи, а также величины и направления всех ЭДС, то токи в ветвях можно определить, используя законы Кирхгофа.

При этом рекомендуется придерживаться следующей последовательности расчета:

- произвольно выбирают положительные направления токов во всех ветвях схемы и обходов контуров;

- на основании законов Кирхгофа составляется система алгебраических уравнений, необходимая для определения неизвестных токов в ветвях схемы; число совместно решаемых уравнений, составляемых по законам Кирхгофа, равно количеству неизвестных токов в ветвях схемы; из них число уравнений, составляемых по первому закону Кирхгофа, на одно меньше, чем количество узлов в схеме; остальные недостающие уравнения составляются по второму закону Кирхгофа.

- полученная система уравнений решается любым удобным способом.

Если в результате решения составленной системы уравнений значение какого-либо тока получится отрицательным, то это значит, что действительное направление этого тока противоположно ранее выбранному. По найденным значениям токов можно определить напряжения на участках схемы и расходуемые в резисторах мощности.

Составим систему уравнений на основании законов Кирхгофа для электрической цепи, схема которой представлена на рис.1.18.

Схема содержит шесть ветвей: одна из ветвей содержит идеальный источник тока и поэтому ток в этой ветви равен току источника I₂=J, в остальных пяти ветвях токи неизвестны. Так как в схеме четыре узла, то по первому закону Кирхгофа составляем три уравнения, то есть на одно меньше, чем количество узлов. Недостающие два уравнения составляем по второму закону Кирхгофа для двух элементарных контуров. Контуры выбираются таким образом, чтобы ветвь с источником тока, то есть с известным током, ни в один контур не входила.

Направления обходов контуров выбираются произвольно и показаны на рис. 1.18.

Узел 1: ,

Узел 2: ,

Узел 3: ,

Контур I: ,

Контур II: .