Действующее и среднее значения несинусоидальных электрических величин
Пусть несинусоидальный ток выражается в виде аналитического разложения в ряд Фурье
Под действующим значением несинусоидального тока понимают такой постоянный ток I, который при протекании через резистор с сопротивлением R выделяет такое же количество тепла, что и несинусоидальный ток, за время равное периоду Т несинусоидальной функции:
,
откуда действующее значение тока
.
После интегрирования это выражение будет иметь вид
где
действующее
значение тока k-той
гармоники.
Таким образом, действующее значение несинусоидального тока равно квадратному корню из суммы квадратов постоянной составляющей и действующих значений токов всех гармонических составляющих.
Аналогичное выражение можно записать для определения действующего значения несинусоидального напряжения:
где
действующее
значение тока k-той
гармоники.
Активная, реактивная и полная мощности
Активная мощность определяют как среднее значение мгновенной мощности:
.
После подстановки мгновенных значений тока и напряжения получают выражение
Таким образом, активная мощность электрической цепи при несинусоидальных напряжениях и токах равна сумме активных мощностей от постоянной и каждой из гармонических составляющих.
Произведение действующих значений напряжения и тока представляет собой полную мощность:
Реактивная мощность
Для цепей с несинусоидальными токами и напряжениями
.
Коэффициенты, характеризующие форму несинусоидальных кривых
Несинусоидальность кривых тока и напряжения в ряде случаев оценивают с помощью коэффициентов амплитуды, формы и искажения. Сопоставление этих коэффициентов с такими же коэффициентами для синусоидальной кривой показывает, насколько данная функция отличается от синусоидальной.
Коэффициент амплитуды равен отношению максимального значения несинусоидального напряжения или тока к действующему значению:
.
коэффициент
амплитуды для синусоидальной функции
Коэффициент формы равен отношению действующего значения несинусоидальной функции к его среднему по модулю значению:
.
Для синусоидальной функции КФ=1,11.
Коэффициент искажения определяют, как отношение действующего значения первой гармоники к действующему значению несинусоидальной функции:
.
Для синусоидальной функции коэффициент искажения КИ =1.
В промышленных сетях кривые напряжения отличаются от идеальной синусоиды. Поэтому в электроэнергетике вводят понятие о практически синусоидальной кривой. По стандарту коэффициент искажения напряжения сети равен 0,995, поэтому анализ систем электроснабжения проводят в предположении синусоидальности напряжения.
Расчет электрических цепей при несинусоидальных токах и напряжениях
В линейной электрической цепи действует несинусоидальный периодический источник ЭДС (рис. 7.3, а).
Расчет токов и напряжений в такой цепи выполняют следующим образом: заданную несинусоидальную ЭДС представляют в виде разложения в ряд Фурье
и на эквивалентной схеме замещения (рис. 7.3, б) представляют в виде последовательного соединения нескольких синусоидальных источников ЭДС различной частоты.
Расчет линейной цепи с несинусоидальными ЭДС и токами выполняют методом наложения. Несинусоидальные токи или напряжения определяют, как сумму частичных токов или напряжений, возникающих от действия ЭДС каждой гармоники (рис. 7.3, в, г, д, е). То есть решение сводят к решению k задач с синусоидальными ЭДС и токами, где k – число синусоидальных составляющих ряда Фурье, и одной задачи с постоянными ЭДС и токами при условии наличия нулевой гармоники в аналитическом разложении несинусоидальных величин в ряд Фурье.
В пределах одной гармоники расчеты можно выполнять в комплексной форме, так как все напряжения и токи в каждой схеме изменяются во времени по синусоидальному закону.
При расчете
гармонических составляющих необходимо
иметь в виду, что сопротивления индуктивных
и емкостных элементов зависят от частоты,
то есть от порядкового номера гармоники:
.
Активное сопротивление при достаточно низких частотах и малых сечениях проводов можно считать независящим от номера гармоники.
В частичной схеме рис. 7.3, в, являющейся схемой замещения по постоянной составляющей (ω=0) сопротивление индуктивного элемента ωL равно нулю, поэтому постоянная составляющая напряжения uL(0) также равна нулю. Сопротивление емкостного элемента 1/(ωС) равно бесконечности, то есть он представляет собой разомкнутый участок цепи, поэтому постоянная составляющая тока ветви, содержащей конденсатор, iC(0) отсутствует.
В цепи (рис. 7.3, г)
действует ЭДС первой гармоники
е(1)(t)=
.
Запишем комплексную
амплитуду этой ЭДС: 
.
Комплексное сопротивление цепи
Комплексная амплитуда тока
,
тогда мгновенное значение тока первой гармоники
.
В цепи рис. 7.4, г
действует ЭДС второй гармоники
е(2)(t)=
.
Комплексная амплитуда ЭДС второй гармоники:
.
Комплексное сопротивление цепи второй гармоники
.
Комплексная амплитуда тока второй гармоники
,
тогда мгновенное значение тока второй гармоники
.
Аналогичные расчеты выполняются и для остальных гармоник.
Для k-той
гармоники (рис. 7.3, е) е(k)(t)=
.
Комплексная амплитуда ЭДС k-той гармоники:
.
Комплексное сопротивление цепи
.
Комплексная амплитуда тока
.
Мгновенное значение тока k-той гармоники
.
Мгновенное значение несинусоидального тока цепи определяют, как сумму токов всех гармоник
i(t)=i(0)(t)+ i(1)(t)+ i(2)(t)+…+ i(k)(t)=
=
+
Аналогичным образом выполняют расчет несинусоидальных напряжений на отдельных участках цепи.
Для построения графика временной зависимости несинусоидальной функции строят в одних осях координат графики синусоидальных составляющих всех гармоник. При вычерчивании кривых отдельных гармоник необходимо учитывать тот факт, что период гармоники обратно пропорционален ее номеру. Так как по оси абсцисс откладывают величину ωt, то при построении графика k-той гармоники несинусоидальной функции ее начальную фазу делят на номер гармоники.