33. Потенциал. Работа и разность потенциалов. Эквипотенциальные поверхности.

1. Потенциальная энергия тяготения. Потенциал.

Мы выяснили, что потенциальная энергия системы Земля и тело равна U=mgh, где h – расстояние от нулевого уровня потенциальной энергии, который мы можем выбрать сами. Вспомним, что напряженность гравитационного поля равна , тогда . Возьмем за нулевой уровень не поверхность земли, а центр Земли тогда h = R и , или

,

где U - потенциальная энергия гравитационного взаимодействия.

Знак минус указывает на то, что при увеличении R энергия стремится к нулю, то есть возрастает, ведь гравитационные силы являются силами притяжения.

П оместим в точку А гравитационного поля, созданного телом массой М тело небольшой массы m₁ – пробное тело. Оно обладает в этой точке энергией . Разделим обе части уравнения на массу пробного тела m₁. Внесем в точку А тело массой m₂ и найдём отношение потенциальной энергии U к массе тела m.

= 

= 

Отношение потенциальной энергии тела в точке А гравитационного поля к его массе величина постоянная и зависит от тела создающего поле и расстояния до выбранной точки. Эта величина, называется потенциалом гравитационного поля. (Дж/кг). Для сферических и точечных тел потенциал находится по формуле

,

где R – расстояние от центра тела, создающего гравитационное поле до точки, в которой вычисляется потенциал.

Отсюда потенциальная энергия тела, находящегося в гравитационном поле равна

2. Работа и разность потенциалов

Работа силы тяжести равна А= - (U₂-U₁), или А = - (φ_грав2 – φ_грав1)m. A = (φ_грав1 – φ_грав2)m, A = Δφm, где Δφ – Разность потенциалов (не путать с изменением потенциала). Работа, совершаемая гравитационным полем при перемещении тела из одной точки поля в другую, равна произведению массы тела на разность потенциалов начальной и конечной точки.

Как же связаны две характеристики гравитационного поля – напряженность гравитационного поля (силовая характеристика) и Δφ разность потенциалов гравитационного поля (энергетическая характеристика гравитационного поля).

В однородном поле над поверхностью Земли, работу можно выразить через напряженность. А = FS, А=Gm(h₁-h₂) и через разность потенциалов А=m(φ₁-φ₂) приравнивая правые части, получим GΔh=Δφ,

G=Δφ/Δh,

где h расстояние вдоль силовой линии.

Пример: Определить потенциал гравитационного поля Земли на расстоянии 10000км от центра.

Дано: R=107м M=6х1024кг =?		Потенциал поля найдём по формуле =40х106Дж/кг
Ответ: Потенциал гравитационного поля Земли на расстоянии 10000км равен 40х106Дж.

Пример: Найти потенциал гравитационного поля образованного Землёй и Луной в точке удалённой от Земли на расстояние 5х10⁸м и от Луны на расстояние 2х10⁸м.

Дано: R1=5x108м R2=2x108м MЗ=6х1024кг МЛ=7,4х1022кг =?		Потенциал в точке А найдём по принципу суперпозиции.  = З + Л , где З – потенциал от поля Земли, а Л – потенциал от поля Луны.  = ,  = = = - 8,25х105Дж/кг.
Ответ: Потенциал гравитационного поля в точке А равен – 8,25х105Дж/кг