Примеры заданий для оценки математической грамотности 15-летних учащихся в исследовании pisa 2000 г. Определение и содержание понятия “математической грамотности”

Под математической грамотностью понимается способность человека понимать и заниматься математикой, высказывать хорошо обоснованные суждения относительно роли математики. Эта способность необходима для текущей и будущей личной, профессиональной и общественной жизни индивида в семье и обществе, а также для жизни созидательного, заинтересованного и мыслящего гражданина.

Термин «грамотность» имеет специфическое содержание в данном исследовании. Под грамотностью скорее понимается способность функционально использовать математические знания и умения, чем даже мастерское владение этими знаниями в рамках требований школьной программы. В принятом определении «заниматься» математикой не означает выполнение простых физических или социальных математических действий (например, вычислить сдачу при покупке в магазине), под этим подразумевается более широкое использование математики в связи с самыми различными целями, например, высказать обоснованное мнение о бюджете, предлагаемом правительством.

Математическая грамотность включает также способность выделить в различных ситуациях математическую проблему и решить ее, а также наклонность выполнять такую деятельность, что достаточно часто связано с такими чертами характера, как уверенностью в себе и любознательностью.

Три направления, выделяемые в математической грамотности

Для проведения проверки математической грамотности были выделены три направления: виды деятельности, содержание, ситуации.

Виды деятельности

Задания, используемые в исследовании, группируются вокруг трех уровней компетентности. Первый – воспроизведение включает проверку определений или простых вычислений, характерных для обычной проверки математической подготовки учащихся. Второй – установление связей требует интеграции математических фактов и методов для решения явно сформулированных и до некоторой степени знакомых математических задач. Третий - размышления включает проверку математического мышления, умения обобщать, глубоко понимать, использовать интуицию, анализировать предложенную ситуацию для выделения в ней проблемы, которая решается средствами математики, и формулирования этой проблемы.

Содержание

Содержание проверки в данном исследовании группируется вокруг некоторых общих явлений или типов проблем, которые возникают при рассмотрении этих явлений. В качестве таких явлений предлагаются следующие: количество, пространство и форма, изменение и зависимости, неопределенность.

Ситуации

Один из важных аспектов математической грамотности – это применение математики в различных ситуациях, которые связаны с личной и школьной жизнью, местным обществом, общественной жизнью, работой и отдыхом.

Виды математической деятельности

Проверочные задания создаются с таким расчетом, чтобы группироваться вокруг общеучебных математических видов деятельности, которые присутствуют на всех этапах обучения:

1. Математическое мышление и рассуждения, включающие постановку вопросов, характерных для математики («Имеется ли …?», «Если это так, то сколько…?», «Как это найти …?»); знание характера ответов, которые предлагает математика для таких вопросов; дифференциацию различных типов утверждений (определений, теорем, предположений, гипотез, примеров, условных утверждений); понимание и использование возможностей и ограничений математических понятий.

2. Математическая аргументация, которая включает знание того, что представляют собой математические доказательства и их отличие от других типов математических рассуждений; следование и оценку цепочки математических аргументов различного типа; обладание эвристическим чувством («что может или не может случиться и почему»); создание математических аргументов.

3. Коммуникативные математические умения, которые включают выражение в письменной или устной форме своих мыслей, связанных с математическим содержанием; понимание письменных или устных математических утверждений, высказанных другими.

4. Моделирование, которое включает структурирование предложенной ситуации таким образом, чтобы ее можно было моделировать; перевод реальной ситуации в математическую структуру; интерпретация математической модели с учетом реальной ситуации; работа с математической моделью; оценка правильности модели; размышления, анализ, критика модели и полученных результатов; запись, характеризующую модель и полученные результаты (включая ограничения полученных результатов); систематический контроль процесса моделирования.

5. Постановка и решение проблем, включающее постановка, формулировка и определение различных математических проблем (например, чисто математические, прикладные, открытые^и закрытые) и решение с помощью различных способов различных математических проблем.

6. Представление имеющихся данных в различной форме, включающее декодирование или, наоборот, кодирование данных, перевод, интерпретация, различение и определение зависимости между различными формами представления математических объектов или ситуаций; выбор или переход от одной формы к другой форме представления данных, соответствующей условию задачи. Использование символов, формализованного и технического языка и операций, включающее: декодирование и интерпретацию символов и формализованного языка и понимание его связи с естественным языком; перевод естественного языка в символический / формализованный язык; обращение с утверждениями и формулами, содержащими символы; использование переменных, решение уравнений и выполнение вычислений.

7. Использование технических средств, включающее знание и умение использовать различные средства и инструменты, которые могут способствовать активности математической деятельности; знание ограничений таких средств и инструментов.

В исследовании не предполагается проводить оценку состояния каждого из этих видов деятельности в отдельности, так как, имея дело с реальными математическими проблемами, приходится использовать одновременно многие их этих умений.

Для описания уровней математической компетентности в исследовании выделены соответствующие им виды деятельности: а) воспроизведение, определения и вычисления; б) связи и интеграция, необходимые для решения проблемы; в) математизация, математическое мышление, обобщение и интуиция. В целом эти виды деятельности перечислены по возрастанию трудности. Однако это не значит, что для выполнения последующего вида деятельности надо обязательно мастерски владеть предыдущими видами. Например, не обязательно мастерски владеть вычислениями, чтобы владеть математическим мышлением.

1. Первый уровень компетентности: Воспроизведение, определения, вычисления.

Первый уровень компетентности включает виды деятельности, которые проверяются во многих стандартизированных тестах, а также в сравнительных международных исследованиях в основном с помощью такой формы заданий, как задания с выбором ответа. Этот уровень компетентности связан со знанием фактов, воспроизведением свойств, узнаванием эквивалентных математических объектов, выполнением стандартных процедур, использованием стандартных алгоритмов и развитием технической стороны алгоритмических умений.

2. Второй уровень компетентности: Связи и интеграция с целью решения поставленной проблемы

Второй уровень компетентности включает установление связей между различными областями, разделами и темами математики и интеграцией их материала с целью решения несложных задач. Эти задания нельзя отнести к стандартным, однако они не требуют значительной математизации, представленной в них ситуации.

В рамках этого уровня компетентности учащиеся должны проявить умение представить присутствующую в условии задания информацию в соответствии с данной ситуацией и согласно вопросу, поставленному в задаче. При установлении связей между материалом из различных разделов математики от учащихся требуется умение различать и соотносить определения, условия, доказательства, утверждения, примеры. В этот уровень компетентности включается также умение раскрывать и интерпретировать смысл записей, сделанных на формализованном языке с использованием различных символов, перевести их на обычный язык. В условиях задач, которые отнесены к данному уровню компетентности, часто предлагается некоторая ситуация, требующая от учащихся принятия решения, связанного с особенностями данной ситуации.

3. Третий уровень компетентности: Математизация, математическое мышление, обобщение, интуиция.

На третьем уровне компетентности от учащихся требуется математизировать предложенную ситуацию: узнать и извлечь из условия математическую часть, заключенную в предложенной информации, и использовать математику для решения проблемы, самостоятельно разработать, проанализировать и интерпретировать созданную математическую модель ситуации, разработать свой способ решения и его математическую аргументацию, включая необходимые доказательства и обобщения.

Эта деятельность включает критическое мышление, анализ и размышления. Учащиеся не только должны быть способны решить предложенную проблему, но также и сформулировать ее в соответствии с рассматриваемой в задаче ситуацией, а также обладать глубоким пониманием сути и возможностей математики как науки.

Этот уровень компетентности является сердцевиной математической грамотности и представляет значительные трудности для тестирования. Для оценки его достижения непригодны задания с выбором ответа. Больше всего подходят для этого задания со свободным ответом, разработка и оценка выполнения которых весьма затруднительна.

Математическое содержание

В школьной программе обычно выделяются различные разделы математики, которые разделяют школьный курс на части , недостаточно связанные между собой, и уделяется слишком много внимания вычислениям и формулам. К началу 20 века с достаточным основанием можно было полагать, что математики включала 12 явно различных областей: арифметика, алгебра, геометрия, математический анализ и др. В настоящее время резонно можно говорить о 60-70 областях. Некоторые области разделились на ряд подобластей, а некоторые являются новыми, например, теория динамических систем. Нередко возникают проблемы, которые невозможно решить, применяя знания только из одной области математики. Чтобы стать необходимой, математика должна отражать комплексный характер окружающего действительности.

В связи с этим разработчики исследования PISA выбрали другой подход к организации содержания проверяемого материала. Они структурировали его вокруг некоторых основополагающих, фундаментальных идей, каждая из которых лежит в основе и тем самым объединяет различные объекты и явления.

Фундаментальные математические идеи - это группа взаимосвязанных общих математических понятий, которые характеризуют свойства объектов и явлений живой и неживой природы и тем самым способствуют пониманию роли математики в постижении окружающей действительности и ее изменении. В качестве таких идей в исследовании выбраны следующие: изменение и рост, пространство и форма, неопределенность, количественные рассуждения.

Содержание проверки отбирается таким образом, чтобы концентрироваться не вокруг традиционных вопросов курса математики, а вокруг этих фундаментальных идей.

Фундаментальные идеи тесно связаны с содержанием материала большинства традиционных вопросов школьного курса математики. Так, например, знание материала ряда вопросов находит применение при наблюдении и изучении явлений, связанных с фундаментальной идеей "изменение и рост". Очевидно, что с ними (явлениями) связаны, такие вопросы, как отношения, функции и их графики. Так, например, оценка изменения свойств многих процессов приводит к необходимости интерпретировать описывающие их графики линейной, показательной, логарифмической и других зависимостей, используя для этого знание свойств соответствующих функций. При изучении многих явлений используются знания геометрического материала, связанного с фундаментальными понятиями «пространство и форма». Например, при изучении изменения площади круга (фигуры, которая широко используется в строительстве и архитектуре,) в зависимости от изменения его диаметра требуются знания из разделов "равенство" и "подобие фигур". Изменение наблюдаемого объекта или явления может фиксироваться с помощью непосредственных измерений. В этом случае требуется определить форму представления данных, возможности их использования для получения соответствующих выводов, а для этого необходимы знания, полученные при изучении разделов "вероятность" и "математическая статистика".

Концентрация содержания проверки вокруг фундаментальных идей по сравнению с более традиционным тематическим подходом позволяет более широко охарактеризовать результаты проверки с позиций овладения идеями, тесно связанными с реальными явлениями окружающего мира. Овладение ими позволяет оценить возможности учащихся в использовании полученных знаний в повседневной жизни (личной и общественной), что и является целью данного исследования.

В исследовании PISA 2000 года задания концентрировались вокруг двух фундаментальных идей: «изменение и рост», «пространство и форма».

При отборе содержания, хотя и не в первую очередь, учитывается также необходимость отразить каждую из основных "тем" традиционного школьного курса математики. В данном исследовании эти темы определены следующим образом: числа, измерения, оценка, алгебра, функции, геометрия, вероятность, статистика, элементы теории чисел.

Математические ситуации

Важной составляющей математической грамотности является использование математики в различных ситуациях. То есть математическая интуиция и знания должны использоваться в различных ситуациях, чтобы у учащихся не сложилось впечатление, что математика далека от их повседневных потребностей. В этом плане наиболее близкими для них являются ситуации, связанные с личной повседневной жизнью, затем со школьной жизнью, работой и спортом, жизнью местного окружающего их местного общества и всего мира, и далее всего отстоят ситуации, связанные с научными проблемами.

Пока невозможно с определенностью сказать, каково влияние близости ситуации, рассмотренной в задании, к интересам школьника на выполнение этого задания. Часть ученых считают, что отдаленность ситуации является препятствием. Некоторые эксперты утверждают, что девочки лучше справляются с ситуациями, которые связаны с выполнением стандартных процедур, а школьники основной и средней школы менее нуждаются в близости ситуации к их жизни, чем учащиеся младших классов.

Независимо от близости ситуации к жизни школьника целью исследования PISA является разработка заданий, в которых рассматривается ситуации возможные в окружающей действительности. Если обучение математики заключается в подготовке активного и информированного гражданина, то он должен быть готов иметь дело с такими современными явлениями, как загрязнение окружающей среды, потоки транспорта, загрязнение атмосферы и др. Однако это не исключает возможности использовать в исследовании вымышленные ситуации, далекие от действительности, например, потоки транспорта в вымышленном городе.

Оценка математической грамотности в исследовании PISA 2000

В исследовании используются различные формы заданий. Более простые виды деятельности проверяются с помощью заданий с выбором ответа. Для более сложных видов – используются задания со свободным ответом. В этих заданиях от учащихся чаще всего требуется привести решение или дать объяснение полученного ответа. Такие задания позволяют школьникам показать свои возможности посредством выбранного ими способа решения и приведенных обоснований. Предложенная в исследовании система оценки выполнения этих заданий (кодирование ответов с помощью двоичного кода), позволяет зафиксировать число учащихся, выбравших тот или иной способ решения, и допущенные ими характерные ошибки. Первая цифра кода – это балловая оценка за выполнение задания, выставленная экспертом на основе специально разработанной инструкции, вторая цифра – фиксирует способ решения (например, алгебраический или арифметический).

Выполнение большей части (примерно две трети) заданий оцениваются по дихотомической шкале с категориями: верно и неверно. Обычно это задания, верный ответ на которые достаточен, чтобы судить о понимании учащимся проверяемых знаний и умений. Для более сложных заданий, кроме полностью верного ответа, фиксируется также частично верные ответы, имеющие соответствующий недочет.

Часть заданий являются комплексными. В них сначала рассматривается некоторая ситуация, а затем к ней предлагается несколько вопросов повышающейся сложности. Во многих заданиях информация предлагается в форме различных таблиц, диаграмм, графиков, рисунков, схем.

Выполнение учащимся всей работы оценивается по 1000 – балльной шкале со средним значением, равным 500, и стандартным отклонением, равным 100. Около 2/3 школьников в странах OESD получают за выполнение работы оценки в пределах 400-600 баллов. Эта шкала измеряет способность учащихся распознавать и интерпретировать математические задачи, возникающие в окружающем их мире, переводить эти задачи на математический язык, использовать математические знания и умения для их решения, интерпретировать результаты решения с учетом особенностей рассмотренной в задаче ситуации, чтобы проверить правильность использованного метода, сформулировать и записать окончательный ответ.

В исследовании 2000 года количество математических заданий было слишком мало, чтобы оценить в целом математическую грамотность каждого учащегося. В то же время полученные результаты позволили охарактеризовать виды математической деятельности (в терминах соответствующих знаний и умений), характерной для различных уровней рассмотренной 1000- балльной шкалы.

При оценке на уровне 750 баллов и выше учащиеся демонстрируют активный и продуктивный подход в решении предложенных в исследовании задач. Они успешно распознают и формулируют предложенную в условии проблему на математическом языке, справляются с достаточно сложными задачами и могут выполнить несколько последовательных шагов решения. При этом учащиеся могут распознать и применить соответствующие инструменты и знания (часто в случае новой для ситуации), проявить интуицию при определении соответствующего способа решения, использовать обобщение, рассуждения, аргументацию для объяснения полученного ответа, то есть демонстрируют познавательную деятельность высокого уровня.

При оценке около 570 баллов по этой шкале учащиеся обычно интерпретируют и связывают между собой информацию, представленную в различной форме, или из разных источников; могут использовать предложенную модель рассматриваемой ситуации, которая нередко дается в алгебраической или другой формализованной форме; могут проверить правильность предложенных утверждений или моделей. Учащиеся успешно работают с предложенными способами решения, моделями или планами (например, сделав соответствующий выбор из них); выбирают и применяют соответствующие математические знания, если решение задачи состоит из небольшого числа шагов.

На нижнем конце данной шкалы при оценке около 380 баллов учащиеся обычно могут выполнить только какой-нибудь один вид деятельности, состоящий в применении базовых математических фактов или методов, или выполняют несложные вычисления. Они могут распознать информацию, представленную в форме знакомой диаграммы или знакомого текста, в котором явно и просто сформулирована или легко определяется математическая задача. Решение предполагает применение стандартного способа, состоящего из одного шага.

МАТЕМАТИКА. ГРУППА ЗАДАНИЙ 1

ЯБЛОНИ

Фермер на садовом участке высаживает яблони в форме квадрата, как показано на рисунке. Для защиты яблонь от ветра он сажает по краям участка хвойные деревья.

Ниже на рисунке изображены схемы посадки яблонь и хвойных деревьев для нескольких значений n, где n – количество рядов высаженных яблонь. Эту последовательность можно продолжить для любого числа n.

X	X	X
X		X
X	X	X

X	X	X	X	X
X				X
X				X
X				X
X	X	X	X	X

X	X	X	X	X	X	X
X						X
X						X
X						X
X						X
X						X
X	X	X	X	X	X	X

X	X	X	X	X	X	X	X	X
X								X
X								X
X								X
X								X
X								X
X								X
X								X
X	X	X	X	X	X	X	X	X