§ 47. Изотермный процесс

При изотермном процессе выполняются условия dT = 0 или Т >= const.

Такой термодинамический процесс может протекать, например, в цилиндре поршневой машины, если по мере подвода теплоты к рабоче­му телу Поршень машины перемещается, увеличивая объем настолько, что температура остается неизменной.

Уравнение изотермного процесса может быть получено из уравне­ния (64), если принять Т = const. В этом случае

pv = RT = const. (289)

Следовательно, на ир-диаграмме изотерма является равнобокой гипер­болой (рис. 24, а). Из уравнения изотермы (289) следует

pjpi = vM, (290)

т. е. при постоянной температуре давление и объем рабочего тела об­ратно пропорциональны. Отношение (290) является следствием зако­на Бойля — Мариотта.

Соотношения (184) и (186) показывают, что изотермный процесс идеального газа одновременно является процессом при постоянной внутренней энергии (dи = 0) и при постоянной энтальпии (di = 0). Применительно к изотермному процессу уравнение (39) получает вид

dq = d /.

Из приведенного выражения видно, что вся сообщенная газу теп­лота в изотермном процессе затрачивается на совершение внешней работы (рис. 24, в)

Работу ври изотермном процессе определим по формуле

- J (тТ°^бр+ J НгГ <⁸⁸> 57

f (-f Р+ J (-f Г<0. (89) 58

Sz—Si > J (d<7/T)^Heo6P, , (90) 58

I ds_CHCT>0, (92) 58

т, 72

^у=-Я т(^)/^{гг+Гф1 {р)}+^{фг {р)}• ^ 137

'п ⁼ С_{р ВО}д_Ы/н Г С_ра (t t_H), 162

= т.. 179

/и, -е- ■ м_ггті _ ■ 226

= ab/ac, 229

I ⁸⁶⁹ 254

4t = Ің/qi = [ (к — І--а) — (U — із)1/' 325

_ч ly = ~ /„ = (U — £₆)т]_и — (і₂ — һ)Іц_&ю -, * 1 334

¹ * . аза 340

= '^тя-^т° ¹ - ^Го/^Ги т- (714> 343

t: ' ' ' " ' ■ • 350

Известное, значение показателя политропы п дает возможность е помощью формулы (333) построить на sT-диаграмме соответствующий политропный процесс. На рис. 27, б показаны те же термодинамичес­кие процессы, что и на рис. 27. а. Нумерация областей одинаковая.

Все термодинамические процес­сы, начинающиеся в точке А с уве­личением энтропии, протекают о подводом теплоты извне. В обла­стях, расположенных левее адиа­баты, процессы, начинающиеся в точке А, протекают с уменьшением энтропии, т. е. с отводом теплоты от рабочего тела.

На рис. 27, б заштрихованы об­ласти, в пределах которых либо од­новременно увеличивается +емпе- ратура (dТ > 0) и подводится ^Рис- ^{28 к} определению теплообмена

трппгугя 1(\п (Т> (nftnягтн Vlll I Рабочего тела с внешней средой, из- теплота Щ > U) (ооласти Vlll, I _менений удельной внутренней энергии,

И II), либо одновременно пони- Энтальпии и совершаемой работы в

жается температура (dT<0) и политропном процессе по «Г-диа-

отводится теплота (d<? < 0) (обла- грамме

сти /У—VI). Соотношение (324)

показывает, что теплоемкости термодинамических процессов, распола­гающихся в областях Ifill, /, II, IV, V и VI, положительны, в то время как в областях III и VII — отрицательны.

Если политропный процесс 1-2 (рис. 28) с любым значением показа­теля политропы изображен на вГ-диаграмме, то по ней могут быть оп­ределены Aw, At, q, I и l₀. Изменение внутренней удельной энергии Aw численно равно площади под кривой изохорного процесса, происхо­дящего в том же интервале температур, что и политропный процесс 1-2. При выбранном направлении процесса температура рабочего тела увеличивается, поэтому Аы > 0. Если пренебречь криволинейностью изохорного процесса, то

Аи = As_v (Т_г + Т_г)12. (335)

Изменение энтальпии рабочего тела в политропном процессе чис­ленно равно площади под кривой изобарного процесса, происходяще­го в том же интервале температур, что и политропный процесс 1-2. При тех же условиях

Ai = As_p (7\ + Г₂)/2. (336)

Так как Т₂ > 7\, то Ai > 0.

Теплообмен q рабочего тела с внешней средой численно равен пло­щади под процессом 1-2. Если заменить кривую 1-2 прямой, то

q = Asi.₂ (7\ + Т₂)/2. (337)

Так как энтропия в выбранном политропном процессе уменьшается, то теплота от рабочего тела отводится, т. е. q < 0. В соответствии с уравнением (39) определим удельную работу, совершаемую рабочим телом в процессе 1-2\ I — q — А и.

В политропном процессе 1-2 (рис. 28) q < 0, а Ам > 0, поэтому в со­ответствии с формулами (335) и (337) имеем

I = - (A_Sl.₂ + As₀) (7\ + Т₂)12.

Следовательно, удельная работа, совершаемая рабочим телом в. политропном процессе 1-2, измеряется пл. /' 12Аа. ^

Уравнение первого закона термодинамики может быть представлено в виде выражения (48), интегрирование которого позволяет определить располагаемую удельную работу:

= Ц — М-

Так как в выбранном политропном процессе 1-2 q < 0, а Аг > 0, то располагаемая удельная работа выразится формулой

/₀ = - (A_Sl.₂ + As_p) (7\ + Т₂)/2

и численно равна пл. Г12В.

Таким образом, яГ-диаграмма дает возможность достаточно просто исследовать выбранный политропный процесс.

Для определения показателя политропы п можно использовать не­сколько способов:

1. Известные параметры двух различных состояний данного поли­тропного процесса (рис. 29, а) позволяют воспользоваться уравне­нием (316)

PiK = p₂vⁿ_z.

После логарифмирования

IgPi + п lg v_t = lg р₂ + п lg v₂ показатель политропы определяется в виде отношения:

п. = lg (Pi/Po) /lg (vjv,). (338)

2. Площадью al2b под процессом" 1-2 (рис. 29, а) определяется удельная работа I политропного процесса, а пл. cl2d слева от процес­са 1-2 дает располагаемую удельную работу 1₀. Согласно формуле (322),. имеем > ' "*"" ' •<

П-.Щ-IJl ⁼. Щ.сШЫп. а12Ь.

3. Политропа изображена в логарифмических координатах (рис. 29,6). Логарифмирование уравнения (316) lg/? + «Jg v = const показывает, что в логарифмических координатах (Tg v, lg р) политро­па является наклонной прямой, определяемой уравнением

lg р — const — п lg v. Из этого уравнения следует, что п = tga,

где a — угол наклона политропы в логарифмических координатах. В частном случае для изотермы a = 45°, для адиабаты (при k 1,4) а = 54°28\

4. Задан политропный процесс на sT-диаграмме. Расстояния по абсциссе между изобарами и изохорами в координатах s, Т определя­ются формулами (293). Отношение этих формул применительно-к гра­фику на рис. 29, в дает

(Si — S_B)/(S₁ — s_A) = In (рг/ріУІп (vjvj) = lg (р_гІр₂)Пё (t)A). Сравнивая полученное выражение с (338), имеем

п = (s_t — s_B)l (si — s„). (339)

Показатель политропы положителен, если точки А и В располага­ются пб одну сторону от точки I. Так, например, для политропы 1-2 (рис. 29, в) п > 1; для политропы 1-2 (рис. 29, г) 0< n< 1. Если точка 1 располагается между точками А и В (рис. 29, д), то п < 0.

Раздел третий

ПРИМЕНЕНИЕ ОСНОВНЫХ ЗАКОНОВ ТЕРМОДИНАМИКИ К РЕАЛЬНЫМ РАБОЧИМ ТЕЛАМ