§ 15. Цикл Карно

Выражение (58) свидетельствует о том, что термический КПД цик­ла машины-двигателя растет с уменьшением отводимой теплоты <?_а при данном д_г или при неизменном q₂, но с ростом q_v Соотношение между ft и q₂ зависит, очевидно, от процессов, составляющих цикл, и от температур высокотемпературного и низкотемпературного источни- ¹ ков теплоты.

Сади Карно предложил цикл тепловой машины, который имеет мак­симальный термический КПД при заданной разнице температур между

Рис. 12. Цикл Карно:

а — 1-2 и 3-4 — изотермы, 2-3 и 4-1 — адиабаты; б —с промежуточной изотер­мой (к выводу термического КПД)

источниками теплоты. Его '. осуществляют следующим образом (рие. 12, а). К рабочему телу, имеющему в начальной точке 1 температу- ' РУ Т_ъ удельный объем t^ и давление p_lf от верхнего источника подво­дится теплота q_v Рабочее тело в процессе 1-2 расширяется и совершает работу при постоянной температуре 7\ за счет подвода теплоты от

верхнего источника. В точке 2 подвод теплоты прекращается и дальней­шее расширение газа происходит в адиабатных условиях, т. е. без под­вода н отвода теплоты. В процессе адиабатного расширения температу­ра и давление газа падают, рабочее тело совершает полезную рабо-ту за счет своей внутренней энергии. В точке 3 процесс адиабатного рас­ширения заканчивается и начинается процесс изотермного (при Т₃ = -- const) сжатия 3-4 с соответствующим отводом теплоты д., к низкотем­пературному источнику теплоты. В точке 4 заканчивается процесс изо­термного сжатия и цикл замыкается процессом адиабатного сжатия 4-1. Заштрихованная площадь внутри цикла Карно является удельной работой цикла /_ц. Цикл Карно состоит из обратимых процессов и по­этому является обратимым. •

Пунктирными стрелками на рис. 12, а показан цикл Карно для хо­лодильной машйны. Рабочее тело, состояние которого характеризует­ся точкой 1, расширяется адиабатно, и его температура и давление уменьшаются. От точки 4 к расширяющемуся газу подводится теплота г/₈ от низкотемпературного источника теплоты таким образом, что температура газа в процессе расширения 4-3 сохраняется постоянной. Далее следует процесс адиабатного сжатия 3-2 и цикл замыкается изо- термным процессом сжатия '2-1 с отводом теплоты в количестве q_x к высокотемпературному источнику теплоты. Таким образом, затрачи­вая работу, численно равную площади цикла, можно передать теплоту <7г от низкотемпературного источника к высокотемпературному. ■

§ Is. Термический кпд цикла Карно.

Понятие о термодинамической температурной шкапе

Цикл Карно обладает очень важным свойством, которое формули­руется в виде теоремы Карно: термический КПД цикла Карно не за­висит от свойства применяемого рабочего тела и определяется только температурами высшего и низшего источников теплоты.

Для доказательства этой теоремы следует рассмотреть работу двух ■ тепловых машин с различными рабочими телами, работающих по цик­лу Карно между одними и теми же высшими и низшими источниками теплоты с температурами Т_х и Т_г (рис. 13). Пусть в одной машине в качестве рабочего тела используется газ, а в другой — пар. Чтобы исключить влияние окружающей среды, вся система заключается в аб­солютно жесткую и нетеплопроводную оболочку, исключающую воз­можность обмена с окружающей средой работой и теплотой (di = 0;

d? = о). . ;

Газовая машина получает от высшего источника теплоту q\ и от­дает низшему источнику теплоту q\, ее КПД r\_t = (q\ — ql)lq^r_t =

«

Соответствующие величины для паровой машины q\j, ту?,

поэтому %^п = (q^ — qty/ql = l^jq*. - *

Дребуется доказать, что rf_t — т)".

Размеры тепловых машин можно выбрать таким образом, чтобы удельные работы обоих циклов 7ц и іц были равны между собой. В этом

■случае доказательство теоремы Карно сводится к необходимости дока- Щзать равенство q\ = q"_t.

К Если одна из машин, например паровая, работает как холодиль- Шпая машина по обратному циклу Карно, то количества удельных ЙГтеплот <?" и q\ участвующих в этом обратимом цикле, останутся без || изменения, а работа, необходимая для функционирования холодильной Ромашины, по абсолютному значению должна быть равна работе паровой || машины как машины-двигателя и противоположна по знаку. Для ^ привода паровой холодильной машины можно использовать работу ь газовой машины-двигателя. Ha­lf'правление потоков теплоты в Ц рассматриваемом случае на в; рис. 13 указано сплошными к стрелками. Баланс теплоты для gNBHT выразится разностью fc *<?i —^ соответствии со вто- Е рым законом термодинамики ус- Р' ловие q[ — q" ^ 0 не может р; быть реализовано, так как это Щ указывало бы на то, что теплота jp от НИТ переходит к ВИТ, без jf затраты работы (положительная Щ работа газовой машины пол- S ностью использована на привод I холодильной машины, а поступ-

I ление работы в систему извне ис- Рис. 13,-Изолированная система (к выво- |. ключено, так как создано уело- ду теоремы Карцо)

I вие ее полной изоляции). Усло-

I вие q\ — ql ^ 0 не противоречит второму закону термодинамики, так I как оно означает, что теплота со временем переходит от высшего источ- § ника к низшему без затраты работы.

І Если теперь паровая машина работает в режиме двигателя, а га- | зовую машину обратить в холодильную (потоки теплоты в этом случае [- показаны на рис. 13 пунктирными линиями), то на основании аналогич- ных рассуждений можно прийти к выводу, что должно выполняться условие ql — q\ ^ 0. Г Оба рассмотренных случая абсолютно равноправны, поэтрму одно- І. временно должны выполняться два условия: q\ — q^ ^ 0 и q* — \ 0, что возможно только в том случае, Когда q\ — q" — q" — q\ ~ = 0 или q\ = ql.

Таким образом, термический КПД цикла Карно не зависит от при- f роды рабочего тела, используемого в машине. На его значение могут \ влиять только температуры Г, и Г₂ источников теплоты, между кото- [ рыми осуществляется цикл. f Следовательно,

f т)і = ¹ —qjqi = f (Т_и Т^ . ..

; откуда • '

L••' ' >Лі = /(7Ү. п ■ ■ (60)

I ' • ⁴⁹

Для определения вида функции f (Т_и Т₂) следует рассмотреть в ко­ординатах v, р три цикла Карно, образованных тремя изотермами и двумя адиабатами (a-b-f-e, d-c-f-e и a-b-c-d) (рис. 12,6). С учетом функ­циональной зависимости (60) для цикла a-b-f-e qjq^ = / (Т₁, Т₃); для цикла d-c-f-e q₂/q_s = / (Т_2> Т₃); для цикла a-b-c-d q_xlq₂ = f (7\, Т_г). Следовательно,

f {Т_ъ т₂) = f <7\, r₈)/f (Г₂, Т_г). (61)

Таким образом, в отдельности функции / (T_ltT₃) и f (Т_г, Т₃). за­висят от Т_г, а их отношение, как это следует из уравнения (61), от Т₃ не зависит и поэтому может быть представлено в виде

f (Т_и Т₂) == © (Г,)/® (Г₂). (62)

Подставив это сортношение в уравнение (60), получим

qjq* = а <7\)/ю (TJ. ' (63)

Для измерения температуры, характеризующей тепловое состояние тел, применяют приборы, основанные на определении тех или иных свойств вещества, изменяющихся с изменением температуры. Такие вещества, используемые в термометрах, называются термометричес­кими. Основным требованием, предъявляемым к свойствам термометри­ческих веществ, является монотонность их изменения с изменением температуры. Отсчет температур производится от произвольно выбран­ного теплового состояния, принимаемого за стандартное, которому ; приписывается нулевое значение температуры. В 1742 г. шведский фи- зик А. Цельсий предложил за нулевую принять температуру плавле­ния льда, точке кипения воды приписать 100°, а интервал между ними j разделить на 100 равных частей (100 градусов). Цена одного градуса, 1 таким образом, чисто условная величина. Распространение намечен- I ного деления за пределы выбранных стандартных значений дает всю I термодинамическую температурную шкалу. Эта шкала должна иметь 1 на всем своем протяжении равномерные деления, для чего термометри­ческое свойство вещества должно изменяться прямо пропорционально температуре. Однако ни одно из термометрических тел, применяе­мых на практике, не обладает такой особенностью.

В связи с тем что температура пропорциональна скорости движения молекул, желательно, чтобы температурная шкала содержала только положительные значения температур. Нулевое значение температуры в эгом случае будет соответствовать тепловому состоянию, при котором скорости молекул равны нулю.

Указанными свойствами термометрического вещества обладает иде­альный газ, подчиняющийся уравнению Клапейрона

pv = RT, (64)

где R — удельная газовая постоянная; Т — абсолютная температура.

При р = const или при v = const уравнение (64) соответственно

можно представить в виде Т=* ^ р =» const р или Т — pv/R = const v. 50

Таким образом, измеряя удельный объем v при р = const или из­меряя давление р при v = const, по приведенным соотношениям можно определить Т. Как видно из приведенных соотношений, существует прямая пропорциональность между температурой и удельным объе­мом (при р = const) или температурой и давлением (при v — const), _т. е. термодинамическая температурная шкала является равномерной. Кроме того, наипизшей температурой должен быть нуль, когда исче­зает давление при v = const или объем при р = const. Однако практи­ческая реализация идеально-газовой шкалы связана с рядом сущест­венных трудностей, так как реальный газ даже при невысоких давле­ниях по своим свойствам отличается от идеального газа.

Отношение (63), полученное на основании второго закона термодина­мики, позволяет ввести температурную шкалу, не зависящую от свойств термометрического вещества. Соотношение (63) показывает:

1. Количества теплоты q_t и q₂, участвующие в цикле Карно, суще­ственно положительны и их отношение также положительно. Следова­тельно, сами функции со имеют одинаковые алгебраические знаки.

2. Так как > q₂, то и со (T_t) > со (Т₂). Если 7\ > Т₂, то можно сделать вывод о монотонном изменении функции со с температурой.

3. Количества теплоты q_t и q₂, их отношение q_xlq₂ и равное ему от­ношение со (Ту)1я) (Т₂) не зависят от выбора начала отсчета температуры.

4. Выражение (63) в соответствии с теоремой Карно справедливо для любого рабочего тела.

Указанные свойства выражения (63) позволяют за меру температур источников принять функции со. В. Томсон предложил назвать их «абсолютными термодинамическими температурами», а основанную на них шкалу — «абсолютной термодинамической шкалой».

Следовательно, такими температурами называются функции, из­меряющие тепловое состояние тел, отношение между которыми для каких-нибудь двух тел равно отношению количеств подводимой и от­водимой теплоты в цикле Карно, где эти тела выполняют роль высшего и низшего источников теплоты.

Если эти температуры обозначить Oj и #2 ^и принять ^,Ө^,₁ = (в (7\) и ■&₂ = со (Т₂), то q_xiq₂ = Для определения абсолютной температуры какого-нибудь тела необходимо совершить цикл Карно, используя в качестве одного из источников теплоты это тело, а в качестве второ­го — тело, абсолютная температура которого известна и принята за стандартную величину. Измеряя теплоты q₁ и q₂, можно найти абсолют­ную температуру данного .тела.

Если обозначить измеряемую температуру тела через Ф, а темпера­туру тела в стандартных условиях —через &₀> ^то необходимо рассмот­реть два случая (рис. 14). Если # > (рис. 14, о), то о учетом приня­тых обозначений q/q₀ = и тогда

# = ®₀q!q_a.

Так как в прямом цикле Карно qlq₀ >1 и > О (по условию), то и $ > 0, т. е. измеряемая температура положительна. Если Ф < #„ (рис. 14, б), то для обратного (холодильного) цикла Карно также спра­ведливо соотношение qlq₀ ='В связи с этим по условию рабоіы

холодильной машины 0 < q/q₆ < 1. Так как #0 > 0, то и # > 0, т. е. и в этом случае измеряемая температура положительна.

Из- выражения (65) для второго случая следует, что нулевое зна­чение абсолютной температуры (Ф = 0) возможно лишь при 9 = 0, что соответствует условию невозможности отбора теплоты от холодного источника. Физически это значит, что скорйсти движения молекул холодного тела должны быть в этом случае равны нулю.

Термодинамическая температурная' шкала равномерна. Действи- ' тельно, если рассмотреть последовательный ряд п двигателей Карно, •

каждый из которых характери- ; зуется одним и тем же значе- ; нием производимой работы /_ц, | а теплота, отдаваемая одним \ двигателем, полиостью погло­щается другим, roq_n= —q,1.1 = = Іц, Яп-1 — q_n-2 1ц, <?1 =

- <?о = Л- Следовательно,

Ят Яо = тіц- (66)

Величина q_m для рассматри­ваемой системы сопряженных Рис. 14. Циклы Карно для измерения аб- _{дВигател}еЙ равна удельной теп-

- J (тТ°^бр+ J НгГ <⁸⁸> 57

f (-f Р+ J (-f Г<0. (89) 58

Sz—Si > J (d<7/T)^Heo6P, , (90) 58

I ds_CHCT>0, (92) 58

т, 73

^у=-Я т(^)/^{гг+Гф1 {р)}+^{фг {р)}• ^ 137

'п ⁼ С_{р ВО}д_Ы/н Г С_ра (t t_H), 162

= т.. 179

/и, -е- ■ м_ггті _ ■ 226

= ab/ac, 229

I ⁸⁶⁹ 254

4t = Ің/qi = [ (к — І--а) — (U — із)1/' 325

_ч ly = ~ /„ = (U — £₆)т]_и — (і₂ — һ)Іц_&ю -, * 1 334

¹ * . аза 340

= '^тя-^т° ¹ - ^Го/^Ги т- (714> 343

t: ' ' ' " ' ■ • 350

Таким образом, интеграл от Aq/T по любому пути от точки / до точки 2 имеет одно и то же значение. Следовательно, отношение dqlT есть пол- .; ный дифференциал некоторой функции состояния тела.

Сопоставление этого отношения с выражением (75) показывает, что этой функцией является удельная энтропия

ds = dq/T. (76)

С учетом (76) интеграл (75) для любого обратимого цикла получит вид

fds = 0. (77)

Энтропия является функцией состояния, поэтому ее величина оп­ределяется параметрами состояния: s = f (р, v, Т). С помощью уравне­ния состояния (2) или (64) один из параметров можно исключить и тогда энтропия системы может быть представлена в видё функции от любых двух параметров состояния.

Выражается энтропия в Дж/К, удельная энтропия — в

Дж/(кг • К). Интегрирование выражения (76) дает s =

Следовательно, для данного состояния энтропия определяется с точ­ностью до контанты С, которая не может быть определена с помощью рассмотренных законов термодинамики. Потому в технической термо­динамике используют лишь изменение энтропии в процессах, а не ее абсолютные значения.

Энтропия системы равна сумме энтропий отдельных подсистем или тел, входящих в систему.