§ 37. Теории прочности

Гипотезы, называемые также теориями прочности, принято подраз­делять на „старые" и „новые", или энергетические, теории прочности. В первых критерием прочности служат предельные значения нормаль­ных напряжений (или соответствующих им деформаций) и напряже­ний сдвига. В „новых" же теориях критерием прочности считается то или иное значение удельной потенциальной энергии. Все эти теории подробно рассматриваются в курсах сопротивления материа­лов [45]. Здесь мы остановимся кратко на некоторых из них, пред­ставляющих интерес для последующего.

Для данного напряженного состояния тела в каждой его точке главные нормальные напряжения а₁₍ з_а и а₃ имеют определенные зна­чения и изменяются при переходе от одной точки к другой. Таким образом, величины а₁₍ а₂ и о₃ можно принять за прямоугольные коор­динаты и для данного напряженного состояния построить некоторую поверхность:

/(³ь о., ^Зз) = 0.

Если Для построения такой поверхности принять значения <з_1г <s_t h а₃, отвечающие пределу прочности, то полученная поверхность явит­ся поедельной поверхностью главных нормальных напряжений. Каж­дой точке такой поверхности будет отвечать предельное напряжен­ное состояние тела. Снаружи этой поверхности будут находиться точки, отвечающие состоянию тела с нарушенными внутренними свя­зями, а внутри — точки состояний тела с избытком прочности.

Форма предельной поверхности главных нормальных напряжений зависит от строения тела и физических условий его разрушения. Для изотропного и однородного тела эта поверхность должна быть плав­ной и имеющей оси симметрии. Она должна быть замкнутой в поло­жительном (первом) октанте, отражающем условия всестороннего растяжения, и открытой в отрицательном (.третьем) октанте, т. е. при условиях всестороннего сжатия.

Каждой из „старых" и „новых" теорий прочности отвечает опре­деленная форма предельной поверхности главных нормальных нап­ряжений. „Старые" теории геометрически отображают разной формы многогранники, что является следствием линейной формы уравнений прочности, а „новые" — поверхности второго порядка, что является следствием квадратичной формы тех же уравнений. Все поверхности имеют оси симметрии как следствие изотропности и однородности тела.

Многогранная форма поверхности главных нормальных напряже­ний означает, что постепенному изменению напряжений а., и о₃ не отвечагет соответствующее постепенное изменение условий проч­ности для точек на ребрах многогранников одновременно удовле­творяются два уравнения прочности.

Из всех „старых" теорий только одна, тео, ия Мора, удовлетво­ряет условию замкнутости предельной поверхности в положительном октанте и условию <з₁=з₂ = а₃ = — оо в отрицательном октанте.

Уравнения прочности этой теории имеют вид:

	о,-*.. ' - R,	■Ol<«l,
3, < /?!	а
	Ri

и выражают собою шесть плоскостей, в пересечении дающих шести­гранную пирамиду с осью, наклоненной под ртвными углами к поло­жительным направлениям осей прямоугольных координат. Точки, от­вечающие сдвигу, располагаются на этой поверхности при условии

' ⁽¹'³⁷⁾

Считается, что в плоскостях скольжения, кроме касательных на­пряжений, действуют также и нормальные напряжения. Величина ка­сательных напряжений зависит от нормального напряжения и свойств материала. Указывают, что данная теория подтверждается наблюдени­ями, относящимися к возникновению линий или фигур скольжения, появляющихся на деформированных телах после достижения преде­ла текучести [8].

Из „новых" теорий прочности наиболее общей является теория Бурцинского. Здесь в качестве критерия прочности принимается удель­ная энергия изменения формы тела плюс некоторая часть удельной энергии изменения объема тела. Уравнение прочности имеет вид: где

__ RyRt

2 Pi

В зависимости от ссотношения между и уравнение (а) может выражать различные поверхности второго порядка. В частности, при

а>1 и _(2j37)

получается круговой конус с осью, наклоненной под равными углами к положительным направлениям осей координат.

Условию замкнутости предельной поверхности в первом октанте и условию aj = a₃=ra₃= —оо в третьем октанте удовлетворяет и теория Баландина, в основу которой положен критерий удельной по­тенциальной энергии изменения формы тела.

Уравнение прочности имеет вид:

+ oi-K - V - V " «V е. + (Я, -Rx) (®1 + »2 + ®з) <Я, • Я, (3,37)

и отображает параболоид вращения с осью, наклоненной под равными углами к положительным направлениям осей координат.

Точки, отвечающие сдвигу, располагаются на этой поверхности при,условии •

я,=/ ⁽⁴'³⁷⁾

Горные породы не представляют однородных и изотропных тел. Поэтому принципиально не может быть и речи о строгом применении к ним изложенных теорий. Для некоторых частных случаев можно говорить лишь о приближении к этим теориям. В этом отношении автором были сделаны соответствующие испытания некоторых прос­тых горных пород (см. § 39).