§ 38. Пластическое состояние

Подобно предельной поверхности главных нормальных напряжений может быть построена и предельная поверхность пластической де­формации. Всг точки этой поверхности будут изображать предель­ные напряженные состояния, при переходе за которые данное тело начнет пластически деформироваться. Важным является установление условия, связывающего напряжения при наступлении такого напряжен­ного состояния. Здесь на основании опытных данных принимают сле­дующие две гипотезы [46]

1) гипотезу главных касательных напряжений:

°з ⁼ 2ft = <i_s (1,38)

и 2) гипотезу постоянства потенциальной энергии:

- + К - °з)^а + (°S - = 8k» = 2a*. (2,38)

При этом имеется в виду диаграмма на фиг. 6 и условие o^s.^'a-

Первая гипотеза выражает постоянство главного касательного нап­ряжения, действующего в плоскости, делящей пополам угол между крайними главными нормальными напряжениями, а вторая гипотеза — постоянство касательного напряжения, действующего в плоскости ре- *ультирующего сдвига. Это напряжение равно:

^•/•ТТЗТ

и таким образом условие (2,38) принимает вид:

= (3.38)

Однако для условия (2,38) более употребительна связь между главным касательным напряжением т, и пределом текучести при простом растяжении з_б _ Она получается следующим образом.

На осн< вании известных соотношений условие (2,38) можно напи­сать в таком виде:

В системе прямоугольных координат т^ т„ и t₃ условие (а) пред­ставляет предельную поверхность пластической деформации в виде

сферы. При чистом сдвиге т₂ = т₃ = ^- и условие (а) приводится к виду:

•=1=7Г * = /Н⁰-⁵⁷⁷ • ⁽⁴'³⁸⁾

В настоящее время выбор между условиями (1,38) и (2,38) сделан. Первое условие принимается для определения момента начала пла­стической деформации. Когда же этот процесс охватит некоторую облгсть, то вступает в силу второе условие.

Изложенное относилось к случаю идеального упругого пластиче­ского тела (фиг. 6). Если же учитывать упрочнение, то условие (2,38) принимает вид [46]:

=<», • Fit «■),

где Yn — относительный сдвиг между нормалью к площадке резуль­тирующего сдвига и направлениям действия напряжения т_я. Функция F определяется из опыта на простое растяжение.

Заметим, что уравнение прочности (3,37) для пластического тела легко приводится к условию (2,38). Действительно, положив R_x—R₃ = — з,, получим:

откуда

(³1 - ³.)² + («! ~ ^Зз)³ + (³2 - ^Зз)² < Ч .

В прямоугольных координатах з,, з₂ и о„ это условие представля­ет собою круговой 2 • & j цилиндр с осью, наклоненной к ко­ординатным осям под равными углами (направляющие косинусы рав-

1 \ ны -7=

V зу-

§ 39. Опытные данные

Возьмем опьпные данные R_x и R₂ из табл. 16 и, пользуясь ими, вычислим по формулам (1,37), (2,37) и (4,37) теоретические значения предела прочности на сдвиг R'₃. Полученные результаты в сопоста­влении с опытными данными /?₃ поместим в табл. 20. Из этой таб­лицы видно, что наибольшее расхождение между теоретическими и опытными значениями R_s получается для теории Мора и наимень­шее расхождение — для теории, отвечающей параболоиду вращения. Среднее место занимает теория, отвечающая круговому конусу. При­мечательно, что для теории, отвечающей параболоиду вращения, расхождение между теоретическими и опытными значениями R_s по- лучаегся все меньшим но мере уменьшения в породе минеральных примесей и приближения ее к вполне однородной по составу. При этом для такой однородной породы, как мрамор, теоретическое и опытное значения /?₃ полностью совпадают.

Таблица 2)

Поро ДЬГ	Несу­ществен­ные при­меси, %	Порис­тость, °/о	Яв опытн., кг! см2	По Мору		По Бурцинскому		По Баландину
				кг! см2	Rз '■ Дз	кг/см2		кг/см2	К ■ Rs
№ 1	12,4	4,7	32,1	7,8	0,24	9,0	0,28	12,2	0,38
№ 2	9,8	11,6	54,0	15,5	0,29	17,9	( ,33	26,4	0,49
№ 3	2,1	3,0	53,5	38,9	0,73	44,9	0,84	56,2	1,05
№ 4	1,4	2,3	65,4	43,9	0,67	50,7	0,78	65.4	1,00
№ 5	2,2	8,7	131,6	75,2	0,57	86,8	0,66	144,6	1,10

В табл. 21, составленной подобно табл. 17, даны сопоставления 1еоретических и опытных значений R₃, взятых из некоторых лите­ратурных источников. Из этой таблицы видно, что всюду имеются расхождения между теоретическими и опытными данными. Однако все же лучше совпадает с опытом теория, отвечающая параболоиду

Таблица 21

Породы	я» по дан­ным ис­точника кг1см2	Теория Мора		Теория круго­вого конуса			Теория парабо­лоида вращения			Источник
		я; кг/см2	Я»		П'з кг!см2	я3 Д8		кг/ см2	Яз
Камии
вообще	0,077 R2	0,С37 #2	0,48		0.С43 /?2	0,56		0,113 /?2	1,47		[47]
Песча­
ники	0,078 Rt	0,028 /?2	0,36		0,032 У?2	0,41		0,098 /?,	1,26		[48]
Изве­
стняки	0,083 R2	0,056 /?а	0,67		0,065 /?2	0,78		0.140 /?„	1.68		[48]
],оломит	70	19,5	0,28		22,5	0,32		75,3	1,07		[49]
Глинис­
тый сла­
нец	56	12,8	0,23		14,8	0,26		57,9	1,03		[50]

вращения. Эта последняя имеет исходным наиболее общий критерий- энергию. Теория же Мора имеет более частный критерий—предельные значения касательных напряжений. Поэтому таким телам, как горные породы, ближе и отвечает более общий критерий. Чем более однород­ной по составу является порода (мрамор), тем все более лучшим оказывайся приближение опытных данных к теоретическим.