§ 84. Энергетическое взаимодействие между обнажением горной

породы и крепью

В процессе приближения данной замкнутой системы к равновесию внутренняя энергия системы U известным образом распределяется между компонентами. Для некоторого момента времени имеем:

LZ-t^ + t;, и 5«5₁ + 5₂,

где значки 1 и 2 относятся соответственно к обнажению и к крепи.

В общем случае величины U_x и U₂, характеризующие состояния компонентов системы, можно рассматривать как случайные величины,

к 6 связи с этйм можно гойоритЬ о вёройтйости распределения йол- иой внутренней энергии между компонентами данной замкнутой си­стемы. Однако и без рассмотрения этого вопроса можно установить общий характер указанного распределения.

Действительно, на основании свойства аддитивности внутренней энергии замкнутой системы при изотермическом процессе имеем:

U^Ut + U^Fi + Fi + T & + SJ. (а)

Здесь величина U остается все время постоянной, а величины F и S с течением времени изменяются и при том так, что сумма (F₁-\-F₂) уменьшается, а сумма Т (Sj-j-Sj) увеличивается. Другими словами, при общем стремлении системы к равновесию сумма (Л+^s) приб* лижается к минимуму, а сумма Т («Sj-j-Sj)— к максимуму.

Для двух состояний системы, определяемых промежутком време­ни dt, на основании (1,83) можно написать:

+ FJ-(F, + F,) = -T [(.s; + S;)-(5, + 5,)].

Откуда/непосредственно следует:

F^F^F' + F',

или

F^F.K-iF'-F,),

т. е. изменение состояний системы, обязанное работе горного давле­ния, связано с большим уменьшением свободной энергии одного ком­понента, чем увеличение свободной энергии Другого компонента. Разница идет на увеличение связанной энергии системы.

Вопрос о том, к какому именно компоненту системы, относятся большее уменьшение свободной энергии, решается при более подроб­ном рассмотрении свойств каждого компонента системы.

В общем случае горные породы в массиве имеют низкий предел упругости. Поэтому в процессе деформации системы „обнажение — крепь" существует наибольшая вероятность сравнительно быстрого исчерпания упругой деформации обнажения и перехода деформации в пластическую область, если породы нехрупкие. При этом крепь, материал которой часто имеет более высокий предел упругости, бу­дет продолжать еще некоторое время деформироваться упруго. Таким образом, полученный вывод в общем случае можно формулировать так: работа горного давления связана с большим уменьшением сво­бодной энергии обнажения, чем увеличение свободной энергии крепи.

Возьмем выражение (а). Из вышеизложенного видно, что сумма (/•"i + Z^) в правой части этого выражения с течением времени умень­шается, а сумма Т (Sj-f-^) увеличивается. При этом возрастание суммы Т (Sj + S-j) может итти за счет более быстрого увеличения S_it чем увеличение S₂, или наоборот. В обоих этих случаях крепь явля­ется фактором, задерживающим развитие деформаций обнажения. Отсюда — изнестное на практике правило: быстрее по образовании обнажения (при проведении выработки) ставить крепь.

Как известно, податливая крепь необратимо связывает значитель­ное количество энергии (пластические деформации, трение). Поэтому применение такой крепи все более усиливает с течением времени неравенство

Т (5₁ + 5₁)>/^?₁ + /^?₁

и, таким образом, способствует стремлению суммы Т (5_t -f-Sj) к макси­муму, а суммы -f-/^) ^к минимуму, т. е. стремлению данной замкнутой системы к равновесию. Отсюда — при наличии постепенно нарастаю­щего горного давления целесообразно применять податливую крепь.

I"т»г»' Ч»jpiiv in" У" '•*-»—■i'—тг- f _?

§ N5. Горное давление и время

Деформация замкнутой системы „обнажение — крепь" представляет собою необратимый процесс. Энтропия такой системы с течением времени возрастает и являегся линейной функцией логарифма вероят­ности состояния. Таким образом,

S = Vlnp + ln С,

или

е*=У°-С, (1,85)

где k₀ — посюянная, р — вероятность состояния и С — адгитивная по­стоянная.

На основании вывода § 83 можно положить

S — k_rA,

1де &J — коэфициент пропорциональности.

Внося это значение энтропии в (1,85), получим:

— (2,85)

В начальный момент (£ = 0) работа горного давления, очевидно, равна нулю и, таким образом, С = где р₀ — вероятность началь­ного состояния.

Выражение (2,85) можно переписать так:

Откуда

к г л

Мерой вероятности каждог ) состояния системы может быть при­нята его длительность. Последняя может считаться пропорциональной вероятности пребывания системы в данном состоянии. Кроме того, длительность, очевидно, пропорциональна работе горного давления. Таким образом, можно написать:

—

dt — /г_а • ро • е ^ ■dA. Откуда после интегрирования получим:

= /г.,• _?fir■ . (³-⁸⁵>

Так как при ^ = 0 работа i4=r0, то постоянная С_х ©нределяется равной

и (3,85)*принимает вид:

А',, k_rA

-е ^к- .

Откуда

А in 1-1 Ц- ⁴

ь „ А.

или

Л —Д, In (1 +М), (4,85)

где для краткости

h

и Д.,

h „ * h

¹ • Ре • *0

10 П Ч. Цич«аре»ич 145

Формула (4,85) дает выражение работы горного давления в функ­ции времени t. Величины Ь._х и Д„ для заданных условий являются постоянными, из них первая имеет размерность работы, а вторая — размерность „единицы времени^-1Формула (4,85) идентична фор­муле осадки грунта в функции времени, полученной Г. И.' Покров­ским [2] и вывод которой здесь отчасти использован.

Числовые примеры

1. В лаве на 1 м^г кровли приходится одиа сосновая стойка (/=1,8 м и d — ■= 18 см, F= 254,5 см²). Измерениями после установки стойки получены следующие укорочения ее длины под влиянием горного давления: через 2 часа (72• 10² сек.)— 1 мм (0,10 см) и чере.! 8 час (288• 10² сек ) —1,5 мм (0,15 см). Этих данных до- сгашчпо для вычисления коэфициеитов A_t и Д₂ в (4,85).

Через 8 час. деформация стойки увеличилась по сравнению с деформацией че­рез 2 часа после установки стойки в 0,15:0,10= 1,5 раза. Следовательно, действую­щая сила увеличилась также в 1,5 раза, а работа стойки в 1,5² = 2,25 раза. Таким образом, получаем систему двух уравнений:

2,25 А_2ч = Д,1П (1 +288-10²-Д₂),

А_2ч «Ajln (1 + 72.10².Д₂), (а)

где /4_2ч—работа стойки спустя 2 часа после ее установки. Разделив первое ич этих \равнений на второе и вычисляя Д₂, находим-

Д₂= 161-10"⁶ сек.^-1

Определим А_2ч, считая деформацию стойки упругой Действующая сила Р вы­числяется при Е= 100 000 кг\см^% по формуле:

Р-1

равной Р=14 137 кг, и 1аким образом

14 137-0,10 Л_2ч = g — ⁼ 706,87 кг.см.

Внося это значение А_2ч и полученное значение Д₂ ^в уравнение (а), находим Д, =918,3 кг-см, и формула (4,85) для данных условий принимает вид:

А = 918,3 In (1 -f 16Ы0^-Ь -0, считая работу горного давтеиия на 1 м² площади кровли.

2. "Сосновые дверные оклады ставятся в штреке через 0,8 м. Длина переклада / = 2,3 м и толщина о? =16 см. Допустим, что измерениями получен прогиб перек- 1ада посредине через 2 часа (72-10- сек) после установки равным 1,5 мм и через t часа (144-10² сек) равным 2 мм. Нагрузка иа переклад — равномерно распреде­ленная.

4

Через 4 часа прогиб переклада увеличился в -д- раза по сравнению с про­гибом через 2 часа. Следовательно, работа переклада увеличилась в раза. Та­ким образом, имеем:

(4")^г-^Л2ч = ^А<-^|п (1 + 144-102.Д₂),

А_2ч = Д,-1п (1+ 72-102-Д₂). (б)

Аналогично, как и в примере 1, находим:

До = 44.10^_с сек.

Действующая сила Р определяется по известной формуле (при Е — 100 000 кг/см^)'

8 ' ЕТ '

равном Р =31,72 кг и работа переклада через 2 часа после установки —

8

А_2ч = ^g- P-f — 1 i52 кг-см.

14э

Эта величина работы Приходится на 2,3-0,8= 1,84 м^а площаДй кровли. При­водя к 1 м^г площади кровли, получим

А'_гч= 1,52:1,84 = 0,83 кг'см.

После подстановки числовых значений в (б), будем иметь-

4] =3,05 кг-м и формула (4,85) для данных условий принимает вид-

А = 3,05 In (1 -f- 44-10^-1' /), iчитая на 1 и² площади кровли.