§ 51. Более точные формулы

Изложенный в § 50 способ определения геометрических элементов откоса явля­ется приближенным, основанным на допущении прямолинейности линий скольжения в плоской задаче. Исследования последнего времени, принадлежащие главным образом

В. В. Соколовскому [61], позволяют решить задачу более точно.

Фиг. 40. Равномерно распреде­ленная нагрузка откоса.

и условие пластичности

(2,51)

da„

-ху

+ 7 = 0 и

дх (к

ду да.

ху

= 0 (1,51)

дх

ду

Исходными для реше­ния плоской задачи явля­ются два уравнения равно­весия:

основании гипотезы постоянства потенциальной энергии — k--

(1,51) и (2,51) описывают пластическое равновесие при плоском деформированном состоянии тела. Система этих уравнений относится к гиперболическому типу. Она имеет два семейства характеристик (линий скольжения), ортогональных в плоскости \у. Эти уравнения могут быть приведены к двум линейным уравнениям, называемым каноническими (для случая, когда оба семейства линий скольжеНия криволинейны или же, как показал С. А. Христанович [62], допускают интегралы, включающие произвольную функцию, если одно из семейств линий скольжения представляет пря­мые линии).

Уравнения

/Т

В В. Соколовский предложил общий метод решения основных задач о предель­ном равновесии сыпучих тел при различных краевых условиях и с использованием в качестве исходных уравнений (1,51) и (2,51). В частности, им получена для отко­са, подверженного действию равномерно распределенной нагрузки р (фиг. 40), сле-

к)щая формула для определения формы поверхности откоса, находящегося в пре­дельном равновесии и с юженного из грунта с идеальным сцеплением

2k ^cos {ik-^iy ,

•In - — r . (3,51)

ш-Ч

Здесь k — сила сцепления. Формула (3,51) позволгет получить ряд полезных с ледствий.

Рели откос вертикален (х = 0), то из (3,51) имеем ( Р 1 l 1 ^ f Р

cos + ;== cos

f

Отк\да

и

ik 2 р у = — • - (4.51)

I I

Эта формула по«оляет найти предельную высот\ вер>икальиого откоса, нагр\ лени )го равномериораснределенной нагружой.

Если последняя отсутс!вует (р = 0), то формула (4,51) принимает крайне пр >- стой вид

4k

У = — (« + 1) (5.51)

Вообще /ке форма откоса при отсутствии внешне"! нагрузки может быть оп­ределена при р — 0 по формуле (3,51)

2k ^{cos v} ~ ') 2k ^cos ("W-У -¹) ^x = — ЕБП ^{= ln} 0^4 • ⁵¹>

Числовой пример

Пусть задано^- у = 2 500 кг/м\ £ = 5000 кг/м². Внешня! на! рузка отсутствует. По формуле (5,51) предельная высота вертикальнэго откоса получается равно»

v = 33,12 м.

Эта же высота, но вычисленная по формула (2,50), прн у = 45°, потучается равнон

«о= 19,4 м,

I е. меньше приблизительно в 1,75 paia.

Б. ПОДЗЕМНЫЕ ВЫРАБОТКИ § 52.. Вводные замечания

Вопросы устойчивости подземных выработок, несмотря на всю их важность, в теоретическом отношении освещены слабо. Основная задача о предельном устойчивом пролете горизонтальной выработки еще не решена. То же относится и к связанным с нею задачам по устойчивости стенок выработки, мощности потолочной предохрани­тельной толщи и др. Практика подземных разработок обычно удов­летворяется данными опыта, не прибегая к расчетам. Ниже приво­дятся теоретические решения некоторых задач по устойчивости под­земных выработок, не претендующие на исчерпывающую полноту, однако позволяющие при заданных реальных условиях избрать дос­таточно обоснованные результаты

Исходной является задача установления поля напряжений, которое появляется в результате проведения выработки. Эта задача пока ре­шена для горизонтальных выработок кругового, эллиптического и прямоугольного поперечного сечения, имеющих неограниченную длину

(плоская задала) и Проведенных 6 однородной и изотропной порода. Для ее решения использованы результаты исследований концентра­ции напряжений вокруг отверстий в растягиваемой пластинке. Для круглого отверстия в пластинке задача была решена еще в 1898 г. как плоская задача теории упругости. Несколько позднее были получены решения для эллиптического отверстия. Наконец, в послед­нее время (1938)> для прямоугольных отверстий задача была решена акад. А. Н. Динником, Г. Н. Савиными А. Б. Моргаевским [63]. На­ибольший практический интерес представляют решения, относящиеся к прямоугольному сечению. Эти решения полностью подтверждаются на опыте с помощью оптического метода исследования прозрачных моделей. Что же касается сечений горизонтальных выработок со сводчатым потолком и вертикальными стенками, а также выработок

ограниченной длины, то распределе­ние напряжений вокруг них остает­ся пока не изученным.