§ 49. Напряжения и линии скольжёйий

Допустим, что массив сложен из однородной породы и находится под действием собственного веса -(. Положение откоса OA опреде­ляется углом й, составленным нормалью к OA с положительным направлением оси х (фиг. 35). Откос находится в равновесии. Рас­сматривая плоскую задачу, найдем распределение напряжений в массиве откоса.

Если откос отсутствует и массив представляет собою бесконечное полупространство, то нормальные напряжения в каждой его точке являются главными и выражаются так (§ 30):

(1,49)

'0.

= -\у>

ху

• vy = а-;у , х

Эти напряжения, очевидно, будут иметь место и при наличии откоса OA, если рассматривать точки, весьма удаленные от OA. Од-

Фиг. 35. Схема к расчету напряжений в откосе.

нако по мере приближения к откосу напряженное состояние массива будет изменяться вследствие наличия обнажения OA. Допустим, что изменения будут существенны, начиная с точек, расположенных на прямой ОВ, проведенной под углам 45⁰ к оси х. Таким образом, в области (а) будут иметь место напряжения (1,49), а в области (б)—иные напряжения, которые следует найти. Заметим, что в свое время Буссинеском для грунтов направление линии ОВ было приня­

под углом, равным 45" И—, где р— угол внутреннего трения, в

рассматриваемых условиях (связное тело) равный нулю.

Распределение напряжений в области (б) должно отвечать урав­нениям равновесия и совместности:

то

до у

д*х _

дх ' ду

, ₉ д*<р дх* дх*ду*

д» (а_х + и_у) ₌ g

дх^{2 1} ду²

at

dz

ху

ху

-4-

^ дх д² (я* + з_у)

Как известно, в указанных условиях задача бигармонического уравнения:

ду<

^: о,

= 0, (2,49)

(3,49)

сводится к решению

(4,49)

которое удовлетворяло бы условиям на 1раницах.

В уравнении (4,49) <f — функция напряжения, связанная с кочпо центами напряжения условиями:

ду! ' dx» ^И дх-ду

Условиями на границах являются-

1. при х = у (на линии ОВ)—о₁ = — аа_у и

-_ху = 0, а также °_у = — ?у; (6,49)

2. при у — — xctgS (на линии OA) i₀a— 0 или

х_лу (cos²5 — sin² 8) 4- (а_у — <г_х) sin а • cos а = 0. (7,49)

Функция напряжения <f може! быть найдена в виде полинома третьей С1енени:

ср = Ау* + Вху^г + Cx'iv + Dx>. (8,49)

Здесь величины А, В, С и D — некоторые постоянные коэфициен- ты, которые следует найти из условий (6,49) и (7,49)

После диференцирования (8,49) на основании (5,49) имеем:

о_к — ЬАу + 2Вх,

a_v = 2Cy + 6Dx, (9,49)

a.—v-V. = и ^ = (5,49)

^ = -2 (By + Cx)~ix Внося в (9,49) условия (6,49), при х = у будем иметь: <з_х = 6 Ах -}- 2 Вх — — аух, о_у = 2 Сх -f 6 Dx = — -{X, '_яу = -2(Вх ЬСх) - -рс = 0. Откуда после простейших действий получим

(10,49)

2

а

С- 4-(а — 1)4-ЗЛ,

D = т

Подсивляя зттем (9,49) в (7,49) и внося значения В, С и D из (10,49), получим при у = — x-ctgS уравнение, содержащее одно неиз­вестное А, решая которое, найдем-

А — —оя-4-Ye. (^п'⁴⁹>

МЕХАНИКА ГОРНЫХ ПОРОД 2

у-Ot-4_S-0, 37

/=tga₀, 41

¹ J 123

ч 136

~^ку~ (1+ctg 8) со» 25 ~ ^x> >

или, обозначая для краткости,

cos^ 5

(] -f ctg а) cos2S '

- т—чъщфщчтп иягчш» ""f(JT»"<t «ЧЩ/ЩЩ ip^

будем иметь окончательно:

• e)tv — —а?*,

(12,49)

Нетрудно убедиться, что полученное решение тождественно удов­летворяет уравнениям равновесия и совместности (2,49) и (3,49).

С помощью формул (12,49) могут быть найдены компоненты на­пряжения в любой точке области (б) откоса.

Если а—угол, составляемый направлением алгебраически большего главного нормального напряжения с осью х, то на основании извест­ных из теории упругости формул имеем:

', = '-j-A-cos 2с, |

G_y = o — A-cos2a, (13,49)

T^ = £-cos2a, j

i де

^gJC+'у _ »i 4- «2 „ и _ «1 — »а _ _т

a pj 2 И /с =■ ^ — "max •

Для начала пластической деформации может быть принята гипоте­за главных касательных напряжений, согласно которой

2 й = о„ * (а)

где a_s — предел текучести при простом растяжении.

В формулы (13,49) удобно ввести угол [5, составляемый направле­нием первого главного касательного напряжения с осью х и равный

jJ = а -j- 45° .

Выполняя это, получим:

• ^а -f- k • sin 2 р, = а — /г • Sin 2 [$, = — /г-cos 2 ^,

откуда

= (14,49)

lj.ii

Подставляя в (14,49) значения компонентов напряжения (12,49), получим:

(¹⁵'⁴⁹)

Линии скольжения плоского напряженного состояния — кривые, касательные, к которым в каждой точке плоскости х, у совпадают с направлениями главных касательных напряжений в этих точках Семейства линий скольжения пересекают друг друга под углом 90°. Уравнение первого семейства линий скольжения имеет вид

U-teP, 06,49)

а второго семейства:

^- = tg(90° + f3)=:-ctgf3. (17,49)

Из (15,49) можно вычислить tg{3 в функции координат х и у и, подставив в (16,49) и (17,49), получить диференциальные уравнения се­мейств л,1ний скольжения, которые затем следует интегрировать. Однако эти операции сопровождаются крайне громоздкими выклад- камй. Поэтому удобнее их выполнять каждый раз применительно к заданным условиям. В частности интегрирование диференциальных уравнений следует вести приближенными способами, например по Мелентьеву и т. п.

Для точек нч линии ОВ(у = х) формула (15,49) дает

tg2p = -oo,

откудт

Р-+Х-

Аналогичное значение угла получим и для всех точек области (а). Таким образом, линии скольжения в этой области представляют­

ся двумя семействами прямых, наклоненных к оси х под углами ~Т ^и —Т (Ф^иг- 36). Эти прямые в области (б) становятся кривы­ми (16,49) и (17,49). Условие (а) отвечает для таких кривых началу пластической деформации, т. е. переходу откоса в неустойчивое состояние.