13.3. Ошибки контроля

При планировании контрольного эксперимента и системном проектировании САК широко используются методы теории веро­ятностей и математической статистики. Круг вопросов, решаемых при этом, довольно велик. Остановимся в этом параграфе на не­которых общих вопросах статистического анализа процессов конт­роля, имеющих важное значение преимущественно для контроля технологических процессов.

Рис. 13.2. К определе­нию доли годных и не­годных изделий

Си с_в

Определение количества годных объектов контроля при за­данных распределениях вероятностей контролируемых величин и? границах допуска продукции в случае, если погрешности уст­ройств контроля не учитываются, особых затруднений не пред­ставляет.

Положим, задана плотность распределения вероятностей зна­чений контролируемой величины f(x), нижняя с_н и верхняя с_в, границы нормы (рис. 13.2). Тогда количество изделий годной продукции в долях от общего количества

W_r= f f(x)dx,

а Негодной

СО ^СЕ

W_B= p(x)dx-, W_H= §f(x)dx. i_B -«

Если случайная величина х распределена по нормальному за­кону, то для подсчета W_r, W_B, W_H используются таблицы инте­грала вероятностей (функции Лапласа).

Наличие погрешностей устройства контроля приводит к спе­цифическим ошибкам, характеризующим качество контроля.

Различаются при этом ошибки первого рода, которые носят также название риска поставщика, или ложной тревоги, и опре­деляют вероятность отнесения годных объектов контроля к негод­ным, и ошибки второго рода, или риск потребителя, пропуск пе­рехода, при наличии которых негодные изделия классифициру­ются как годные.

Если контролируемая случайная величина х и погрешность устройства контроля у в вероятностном смысле независимы, то результат контроля можно получить, оперируя с композицией

плотностей распределения f{x) и <р(у). На рис. 13.3 показаны щлотиости распределения вероятностей контролируемой величи­ны и плотности распределения погрешностей устройств контроля. Как известно, если плотности распределения f(x) и <р{у) нор­мальны, то плотность распределения суммы независимых случай-<ных величин будет также нормальной, математические ожидания .и дисперсии случайных величин х и у при этом складываются.

f/oc)

С_Ъ = Х1-У

<Р(У)

j. Ч>(У) 1 9

_1кк

'Рис. 13.3. Плотности распре­деления вероятностей контро­лируемой величины и погреш­ностей устройств контроля

Рис. 13.4. Композиция f(K) a ф(</)

При выполнении процессов контроля обычно справедливо ус­ловие

(Св—С_н) ^>Утах.

С учетом этого условия можно найти [13.3, 13.4, 13.5]: вероятность ошибки первого рода (риск поставщика)

W_r

с Г с —,v

с , L —aj

<?(У)'1у-г f <p(y)*y

dx;

вероятность ошибки второго рода (риск потребителя)

^св Г ^св~^х "| а. ^с_в~^х

dx;

W.

= JfW } V(y)dy dK+ j'/W j f(y)dy

-co L c.—x J c_ L c.—x

долю бракованных изделий как по результатам контроля, так :и фактически

¹¹ 7Г

с_н г с,— х- т П

rfx-j-

—00 ^L — X

+ \Пх)

j f{y)dy^Jr J ?(У)^аУ

dx.

Пределы интегрирования в этих выражениях определяются из композиции плотностей f(x) и <р(г/) (рис. 13.4).

Ошибка первого рода часто определяется следующим образом: <*=W_r__Hr/W*. Здесь в знаменателе применяются следующие выра-

ж ения: W_r = ]f(x)dx, W_T__r = ff(x) j _f(y)dy

dx или W„ =

\f(x)dx. Соответственно ошибка второго рода определяется [3 =

-аз

= W_BT_„I(1-W*).

При вычислении вероятностей по этим формулам имеются определенные трудности. Для практических целей представляет интерес использование приближенных оценок этих вероятностей.

Для их вычисления приходится прибегать к численным мето­дам интегрирования. Кривые f(x) и <p(#) разбиваются в преде­лах Цтак около границ допусков на несколько частей, подсчитыва-ются вероятности нахождения в каждой из них контролируемых изделий (pi, p2,---,pn) и вероятности получения результатов кон­троля (<7ь 92> •■->?»)• Тогда вероятность, определяющая риск по­ставщика, будет при симметричных кривых плотностей распреде­ления f(x) и <р(г/) выражаться суммой частных произведений ве­роятностей pi, входящих в зону допуска, и вероятностей выхода результатов измерений г'-х значений контролируемых величин за зону допуска. Так, например, если i=5, то можно получить сле­дующие составляющие вероятностей браковки годных изделий:

ЯС__НГ^ 2 [/?, (q, + <7₂ + <7₃ + <7* + <7₆)+ Рг (<7i + Яг + Я₃ + Я*) +

+ Рг (<7i + Яг + Я₃) + А {.Яг + Яг) + А9.1-

Аналогичным способом можно получить численные значения

"г—г. 1*вг—г, "'нг—Hi"

Для приближенных расчетов используются номограммы, свя­зывающие оценки ошибок первого и второго рода для нормаль­ных плотностей распределения вероятностей f(x) и <р{у), средних квадратических отклонений погрешности устройств контроля <ту и контролируемой величины о_х и симметричной зоны допуска I. Ниже приводятся номограммы, заимствованные из [13.6]. При заданных значениях а, 1/о_х по номограмме на рис. 13.5 можно найти либо Зоу/Z, либо 3o_y/g_x. Например, при симметричном по­ле допуска и заданных а=0,02 (р=^0,01) и 1/о_х=2,5 по графику на рис. 13.5 3ay/Z«0,55 или За_у/ах~1,6. Номограммы, связы­вающие ошибку второго рода и 1/о_х с погрешностью устройства контроля, представлены на рис. 13.6.

Следует обратить внимание на то, что ошибки второго рода меньше ошибок первого рода при одинаковых погрешностях уст­ройства контроля и прочих равных условиях. Так, если 3o_Y/o_x— = 1,6 и 1/о_х=2,5, то 2Р« 0,002.

О 0,005 0,01 0,015 0,02 0,025 О, OS р=а/2

Рис. 13.5. Номограмма: заданы а, l/ох; находятся

г,5

1,5

0,5

\г,5
\KV,-	"<3~ \2
		1^75 ^	4s
			~^\\<;
						Ц75

0,005 0,01 0,015 0,02 p=^Ji/2

Рис. 13.6. Номограмма: заданы Р, l/a_x; находятся 30 _Y /I, 3crlcsx

По номограмме на рис. 13.7 при заданных (а+Р) и l/ох мож­но определить допустимые погрешности контроля.

Следует отметить, что для определения ошибок контроля пер­вого и второго рода могут быть использованы и иные методы. Например, если известны законы распределения годных fi (x) и негодных /о (х) изделий по данной контролируемой величине и

■(oc+jsyz.

Рис. 13.7. Номограмма: заданы (а+Р), 1/о_х; находят­ся ЗатН, ЗОт/ах

если они частично перекрываются (рис. 13.8), то для данной нор­мы с можно определить вероятности отнесения годных изделий по данной контролируемой величине в негодные и наоборот.

В [13.7] рассматриваются асимптотические приближения оценки, также позволяющие существенно упростить вычисления Wz— 1^6. Остановимся кратко на этих оценках.

Рис. 13.8. Плотности распределения вероятностей годных и негодных изделий

-Ъ&)

Ъ(Х)

При принебрежении вероятностью реализации погрешностей, превышающих длину отрезка [с_н, с_в], т. е. при р[\у\>с_в— —с_н]«0, и симметричной относительно нуля плотности вероят­ности величины у, т. е. при ф(г/)=ф(—у),

Wl

1 f(c„)+f(c_B)

2 F{c_B)~F(c_u)

М[\у\\.

В этом выражении F — обозначение интегрального закона распределения х, а М[\у\] = j |у|_Ф{у)dy — первый абсолютный

—СО

момент погрешности.

Для нормального распределения величин хну, имеющих ха­рактеристики а_х, М_х, Оу, M_y=0, M [| у |] = 2o_k/"|/"2ti;

2яо.

Сг-г

о_у ехр [ - (с_в- М_Х)У2^_Х] + ехр [ - (с_и - УИ^)²/2о^]

Ф(с_в—^/°_х)-Ф(с_Е —%/^)

Ошибка первого рода (риск поставщика) может быть прибли­женно определена по формуле

НС ^ [F (с_Б) - ^ (с_н)] ИС-г-Выражение для \F_Hr—г существенно упрощается, если границы

интервала [с_н, с_в] симметричны относительно М_х, т. е. с_в—Мх=-=М_Х—c_K=ko_x:

W_a

°у ехр [ — к²/2]

2ло,

Ф(к)

Полученные выражения пригодны для решения обратной за­дачи, т. е. по заданному значению вероятности ошибки, например Wht-t, возможно определение ограничений на погрешность средств контроля:

ехр [ — я²/2]

Рассмотренный способ вычислений ошибок контроля пригоден для использования при инженерных расчетах с погрешностью

примерно 5—10%.

В ряде случаев удобно поль­зоваться понятиями, связанными с достоверностью контроля. Под достоверностью контроля пони­мается мера определенности ре­шений, принимаемых при кон­троле.

Без выполнения контроля риск изготовителя а=0, а риск потребителя р₀ш может быть определен после оценки W_B и W_B (см. рис. 13.2), при этом абсо­лютная априорная достоверность

D=\— pom-

^С21В ^СНВ ^Х1

Рис. 13.9. Нормальное состояние объекта контроля — площадь круга

Если контроль произведен с помощью технических средств с погре­шностью, характеризующейся плотностью распределения в ероятностеи f (у), то апостериорная абсолютная достоверность контроля D* = = ¹ — Plm = ¹ — (^а* + Р*) ■ Обычно р*_ощ < /?_ош, и, следовательно, £)*>•£. Относительная апостериорная достоверность контроля Dotb^ 1 — (Рош/Рош)- Довыполнения контроля Ротн = 0, а после вы­полнения КОНТРОЛЯ Д)тв—*Ь

Следует упомянуть, что если состояние объекта характеризу­ется несколькими связанными друг с другом величинами, то при выполнении допускового контроля могут возникнуть дополни­тельные методические погрешности [13.2]. Так, если нормальное состояние объекта контроля определяется площадью круга, ра­диус которого R = Ук* -J- v₂² зависит от размера величин х\ и Х2, то в зависимости от того, каким образом выбираются уставки

СПн, Сц_в И С12н, С12в ИЛИ С₂1н, Со_1в И ^СЩю С₂2в , увеЛИЧИВЭЮТСЯ ОШИб-

ки второго или первого рода из-за того, что уставками увеличи­вается или за счет негодных изделий число годных (заштрихо­ванная площадь на рис. 13.9), или за счет годных число негодных (затушеванная площадь).