20.3. О распределении погрешностей между звеньями системы

Значительный интерес при проектировании ИС представляет обратная задача оценки погрешности ИС, а именно задача рас­пределения частных погрешностей по звеньям так, чтобы резуль­тирующая погрешность не превосходила определенного значения.

В общем случае решение такой задачи неоднозначно.

Остановимся несколько подробнее на результатах решения од­ной из модификаций обратной задачи, изложенных в [13.5]. Метод решения, предлагаемый в этой работе, основан на мини­мизации затрат:

где Сгъс⁴ — затраты на уменьшение погрешности i-ro узла; CohiEi — потери при эксплуатации системы за счет наличия по­грешности t-ro узла; г-i — некоторая оценка частной погрешности t-ro узла; с*— удельные затраты на снижение погрешности t-ro узла; hi — коэффициент влияния частной погрешности /-го узла на результирующую погрешность системы; Со— коэффициент, свя­зывающий потери при эксплуатации системы с погрешностью t-ro узла; N—количество узлов в системе; q—некоторый эмпирический коэффициент: q>0.

Оптимальные значения погрешностей узлов Е{, минимизирую­щие 5, определяются как

^{1 —} [ c*h )

Необходимо оговориться, что при проектировании, коэффици­енты Со, Ci, hi зачастую неизвестны. Особенно трудно получить значение с₀. Не располагая знанием Со, задачу оптимального рас­пределения частных погрешностей е, можно решать, если извест­но, каким значением ограничена сверху сумма допустимых затрат на уменьшение погрешности. Для этого случая и при q=\ (т. е. затраты принимаются обратно пропорциональными погрешностям) получено выражение

_v^-Цъу^-

J « = 1

N

где е_общ = 2 hi^ei — заданная оценка полной погрешности системы.

Результат показывает целесообразность распределения частных погрешностей при ограниченных средствах на их снижение про­порционально весовым коэффициентам \^rc_kJh_k, характеризующим фактически эффективность вложений в целях снижения каждой ошибки.

При проектировании чаще всего приходится встречаться с си­туацией, когда часть узлов уже выбрана или, по крайней мере, известна погрешность каких-либо узлов. Принципиально, прибе­гая в случае необходимости к тем или иным упрощениям, можно объединить выбранные узлы в один, поэтому в дальнейшем речь идет об одном известном узле, например с номером N.

Далее, выбирая е* (£=1, 2, ..., N— 1) при заданном e_N, будем считать

Еобщ^Елг,

т. е. полная погрешность системы не окажется меньше погреш­ности заданной ее части.

При этих условиях формула для оптимального значения по­грешности остальных узлов будет иметь вид

/ A_v a M/(i+e)

i=l, 2,..., N— 1.

Если даже неизвестны абсолютные значения удельных затрат на снижение погрешности, но удается оценить отношения удель­ных затрат Ci/c_N, то последняя формула и в этом случае дает ре­шение задачи о наиболее выгодных погрешностях ег выбираемых узлов. Но это решение, очевидно, найти нельзя, если не удается оценить отношения Ci/c_N.

Один из применяемых в таком случае эвристических подходов, который можно назвать «экономным», предполагает необходи­мость считаться с затратами на повышение точности узлов, не­смотря на отсутствие сведений о связи этих затрат с повышением точности. При этом, если отсутствует иная информация, можно допустить, что узлы в смысле удельных затрат на уменьшение по­грешности равноценны (Ci=c_N), откуда находим

/ h_N \i/d-H?)

Из этого выражения следует, что при равном вкладе погреш­ностей уЗЛОВ В ПОЛНую ПОгреШНОСТЬ (hi=h]sf) «ЭКОНОМНЫЙ» ПОД­ХОД приводит к известному принципу выравнивания частных по­грешностей. Однако при различных вкладах /г, погрешностей уз­лов дело обстоит сложнее. Равенство всех вкладов ошибок узлов в полную погрешность оказывается выгодным только при <7->0, т. е. при пренебрежимо малых удельных затратах, необходимых для снижения погрешности е,. Ближе к реальности показатель <7=1, тогда

^e< ^{= s}"J/ "ft"-

Другой подход, который можно назвать «страховочным», иг­норирует затраты на снижение погрешностей в выбранных узлах.

подчиняясь стремлению уменьшить до разумного минимума их дополнительный вклад

Ео=е₀бщ—еаг

в полную погрешность.

Величину ео можно установить, руководствуясь одним из не­скольких альтернативных принципов, которые широко применя­ются на практике из интуитивных соображений.

Чаще всего основываются на принципе, который можно на­звать принципом несущественного вклада. Этот принцип заклю­чается в том, что допустимый дополнительный вклад ео назна­чается как некоторая часть r=eo/&N от заданной ошибки ejv, причем такая, что значение г можно считать несущественным по сравнению с единицей. Назначенную дополнительную погрешность e₀=rejv можно распределить между выбираемыми N—1 узлами по принципу равных погрешностей, равных вкладов, либо, на­конец, пользуясь «экономным» подходом.

При проектировании иногда приходится сталкиваться также с многомерным случаем, когда заданы N₀ узлов, каждый из ко­торых вносит погрешность гщ в соответствующую k-ю операцию, и предстоит выбрать погрешность гги, добавляющуюся к погреш­ностям eik в k-a операции. Для охарактеризованного случая можно предложить принцип пропорционального вклада, заклю­чающийся в соблюдении соотношения

e2ft/eift⁼^,

где К — постоянная, одинаковая для всех k=l, ..., /Со­отношение К может быть назначено по принципу несуществен­ного вклада, если на возможность снижения погрешностей ъчи не налагаются никакие ограничения, либо исходя из имеющегося ресурса допустимых затрат. ' Если при проектировании имеются соображения, по которым желательно уменьшить полную погреш­ность 8ft=8ift+e2ft для некоторых k, то эти соображения могут быть учтены назначением различных К, так что может быть по­лучено

Выбор между «экономным» и «страховочным» подходами опре­деляется взглядами проектировщика на соотношение между тре­бованиями к эффективности. ИИС и допустимыми затратами. Возможен, по-видимому, и компромиссный подход, в котором погрешности узлов назначаются в промежутке между теми, кото­рые. предписываются «экономным» и «страховочным» подходами.

Для примера рассмотрим самый простой случай, когда все hi равны между собой. «Экономный» подход в этом случае озна­чает, что погрешности искомых узлов принимаются равными за­данной, а «страховочный» подход при использовании, к примеру, оценки погрешности в виде среднего квадр этического отклоне-

ния и с применением принципа несущественного вклада, — что-е₀?^0,1е.гу.

Совершенно очевидно, что приведенные соображения полно­стью не исчерпывают проблему распределения погрешностей по звеньям при проектировании ИИС, однако дают возможность осмысленно подойти к решению этой задачи. Нужно подчеркнуть, что при оценке качества проекта системы обязательно прини­мается во внимание, каким образом распределена суммарная по­грешность между ее звеньями.