Глава 21

ВРЕМЕННЫЕ ХАРАКТЕРИСТИКИ ИИС

21.1. Определение интервалов равномерной дискретизации

Один из основных вопросов, который приходится решать при обосновании быстродействия проектируемой системы, связан с определением тех моментов времени, в которые нужно выполнять процедуры измерения исследуемой величины, являющейся функ­цией времени x(t) [21.1].

Остановимся на определении таких моментов времени, т. е. на выборе таких дискретных значений функции x(t), по которым возможно описание этой функции с заданной погрешностью.

При дискретизации x{t) нужно в зависимости от цели изме­рения обоснованно выбрать критерий погрешности описания функ­ции по ее дискретным значениям, определить характер операций дискретизации и вид приближающей функции [21.2]. В качест­ве критериев погрешности описания x(t) используются то­чечные оценки погрешности (например, | &тах \ —МОДуЛЬ МЭ.К-симальной погрешности) или оценки приближения в среднем (ча*

ще всего о—-среднее квадратическое отклонение). Выделение дискрет может производиться через фиксированные, чаще всего равные интервалы дискретизации. Эти интервалы определяются заранее на основании информации о характере исследуемой ве­личины и цели измерения, а также от выбранной приближающей функции. Обычно в качестве приближающих функций используют­ся многочлены и ряды невысокой размерности. Выбор типа ап­проксимирующих функций, так же как и критериев погрешно­стей приближения, определяется преимущественно целью изме­рения.

В табл. 21.1 приведены для наиболее употребляемых на прак­тике аппроксимирующих функций выражения, позволяющие опре­делить интервал равномерной дискретизации при заданной по­грешности.

Полученные для приближения степенными многочленами P_n(t) оценки интервалов дискретизации при заданной погрешности |е_тах| справедливы для точечной интерполяции, т. е. для случая, когда погрешность приближения в узлах аппроксимации отсут­ствует и максимальная погрешность находится между ними. При равномерном приближении, когда на отрезке аппроксимации Т имеются п-\-2 точек (и<Ц\<. ■ ■<.t_n+i), в которых разность x(t)—х* (t) принимает поочередно значения ±8max==sup|A;(/) — —x*(t) |, интервал дискретизации может быть увеличен.

Рассмотрим простейший пример приближения функции x(t) = =/², заданной в точках /=0, 1, 2 (/о=0; ti=l; t₂=2) с исполь­зованием интерполяционного многочлена Лагранжа.

При приближении этой функции (рис. 21.1) многочленами ну­левой степени на отрезке (0,1) P₀(t)=0, на отрезке (1,2) Po(t)=l, многочленами первой степени на отрезке (0,1) Pi(t)=0(t— —1)/(0—1) + 1 (f—0)/(1—0)=/, на отрезке (1,2) Р,(/) = [1(/— —2/(1—2) + [4(/—1)/(2—1)]=3/—2, многочленом второй степе­ни P₂(t) = [0(t—l) {t—2)/ (0—1) (0—2)] +[1(^—0) (t—2)/(l— -0)(1-2)] + [4(*-0)(*-1)/(2-0)(2-1)]=*2.

При приближении многочленом первой степени погрешность E\ = t²—/ на отрезке (0, 1) принимает максимальное значение при £=0,5 и равна eimax=0,25, а на интервале -(1, 2)—при /=1,5.

В этом примере отрезки заданы и определялась погрешность приближения функции с помощью степенных многочленов. При измерениях чаще приходится решать задачу определения интер­вала дискретизации функции по заданной погрешности прибли­жения. Решение в этом случае возможно, если известно макси­мальное значение модуля (п-\-1)-й производной аппроксимируе­мой функции.

При нулевой степени аппроксимирующего многочлена М₀ ^ <Z.\smax\/Mi. В рассматриваемом примере при Mi=2t^=A (при t=2) и \е_тах|=0,25 Д/о^О,06 и необходимо взять 34 интервала дискретизации.

Аппроксимация многочленом нулевой степени (ступенчатая аппроксимация) предусматривает восстановление исследуемой

Таблица 21.1. Характеристики некоторых ортогональных базисных функций

В ид аппроксимирующей функции

Составляющие базисных функций

Интерполяционный многочлен Лагран-

жа

£=0

;=0 i=0 ' *

См. рис. 21. 1, 21.2

Р яд Котельникова

1=—п

x(jAt)

sin co_c (t — /Дг) со_с (t — /ДО

См. рис. 21.4

Приближение многочленами Чебышева первого рода

К

**('/) = 2 C_k(T)T_k{t_t);

k=o

Сй(У) = 2 *{ti)b{ftT_k(t,y, i=o k (t) = I/Kl — /2; [ — Д//2, Д*/2]

7"_и (О = cos (n arc cos f);

Г₃ (0 = 4/s _ 3t; Г₄(г) = 8** — 8f² + 1 (См. рис. 21.5, 21.6)

П риближение многочленами Лежандра К х*(_Г/) = 2 C_k(L)L_k(t_t);

k=0

Q (I) =2 *(*/)**(*/)

1=о

£„(0=i; M0 = ';

M0 = — (3*²-i);

£₄(о=4"(^зи4-^зо'²+^з)

о

Приближение многочленами Лагерра К

^ (*/) = £ с*(П W);

fe=0

,-=o /г(0 = Г-°е-*

£5(0=1; £»(o=-f + i;

L«(0 = r² — 4t+2; L«(0= — г³ + 9/²—18/ + 6

Погреш­ность

Информация о x{t)

Определение интервала дискретизации

Для P_D(t):

My

Ai_n

/Af_x

Д ля P_±(ty.

«₁<У^Г8|е_гаож| /M₂

Для P₂{t):

max

Для P₀(t) и

o² = 2^(0)-2^(A;₀); o² = 1,5ft* (0) — 2ft* (A^/2) + 0,5i?_x (At_t)

fix)

A/<l/2f_c

М_п+1

Решение уравнения У^О = 0

NL

1,5

2"(п + 1)!

■ М_п+1 (Ы/2)^п+*

'"«+1

1,5

2"(п+1)1

М_п+1(М/2)"+1

Вид аппроксимирующей функции	Составляощие базисных функций
Разложение Фурье — Уолша
К
/г=0	См. рис. 21.7
а
;=0

функции с экстраполяцией по предыдущему значению. Восстанав­ливающее устройство при этом имеет наиболее простой вид и не вносит запаздывания в процесс восстановления.

При равномерном приближении (штрихпунктирная линия на рис. 21.1) интервал дискретизации может быть увеличен вдвое, но при восстановлении исследуемой функции вводится запазды­вание на интервал дискретизации и несколько усложняется реа­лизация восстанавливающего устройства.

Рис. 21.1. Приближение Рис. 21.2. Приближение Рис. 21.3. Линейная ап-функции x{t)=t² много- функции x{t)=t² много- проксимация членом нулевой степени членом первой степени

Если аппроксимация функции x{t) производится многочленом первой степени (линейная аппроксимация), то Д^< у 8|е_1палг|/М₂, а восстановленная функция имеет вид x*(t)=x(tj)-\- [x(tj+i)— —^x(tj)] (t—tj)/t_j+l—tj. В нашем примере М₂=2, а если |«_таж| = =0,25, то Д^1^1, т. е. достаточно иметь два интервала дискретиза­ции (рис. 21.2).

При относительно больших значениях допустимой погрешности (бтйх^0,02) разница между интервалами при линейной аппрок-

Продолжение табл. 21.1

Погреш­ность

Информация о x(t)

Определение интервала дискретизации

м.

'и+1

_Д/_ ("+')/2" (п+ 1)

2 < У М_п+1

!с²

симации и аппроксимации многочленами более высокого порядка незначительна. Поэтому лишь при малых погрешностях прибли­жения целесообразно рассматривать возможность применения мно­гочленов со степенью п>2.

Положим, что известна корреляционная функция R*x(t) иссле­дуемой функции x(t) и задана среднеквадратическая погрешность о приближения. (Напомним, что использование среднеквадратиче-ского критерия погрешности аппроксимации возможно, если ис-

b

следуемая функция интегрируема в квадрате, т. е. f я² (/)<#< оо.)

а

Тогда, если для аппроксимации реализации случайной стацио­нарной функции x(t) используется степенной многочлен нулевой степени, интервал дискретизации может быть определен из выра­жения o²=M*[x(t) — x(t_j)]²=2R*_x{0) — 2R*_x(At₀).

Когда корреляционная функция кх*(ъ) неизвестна, то значе­ние Ato может быть определено путем последовательного прибли­жения к допустимому значению среднего квадратического откло­нения.

Для линейной аппроксимации (при максимальной погрешно­сти на середине интервала дискретизации) в соответствии с рис. 21.3

с² = М* {х (t) - х (t,-) + [х (t_j+1) - х (*,.)] Ц^- }² =

= 1,5R*_X (0) - Ж_х (MJ2) + 0,5R*_X (Д.',).

Нахождение значения Д^ при известной функции /?х*(т) особых затруднений не вызывает.

По В. А. Котельникову непрерывная функция x(t), удовлет­воряющая условиям Дирихле, с ограниченной верхней частотой f_c

может быть представлена своими дискретами, следующими через интервалы At^.l/2f_c:

ОО ОО

/=—00 /=—00

Этот ряд носит название ряда Котельникова, а функция sinjt(2f_c^—j)/n(2fct—у) —функции отсчетов. На рис. 21.4 показаны произведения

х (y"/2fс) [sin к (2f_ct—j) /л (2f_ct—j) ]

для моментов времени у—1, у", у+1.

Восстановление исходной непрерывной функции по дискрет­ным отсчетам x(j/2f_c) в виде б-импульсов через интервалы вре­мени At=l/2f_c может быть выполнено путем использования иде­ального фильтра нижних частот на бесконечно большом (от —оо .до оо) интервале времени. На практике исследуемые процессы длятся в течение конечного времени. Следовательно, математиче­ская модель, отображаемая теорией отсчетов, лишь приближенно •описывает реальные физические процессы. Нужно заметить, что •отклонение характеристик фильтра от идеальных также вносит погрешности.

Ввиду сказанного при использовании теоремы Котельникова на практике несколько увеличивают значение расчетной верхней граничной частоты f_c.

Известна математическая модель, в которой принимается, что спектр сигнала отличен от нуля в пределах от —оо до оо, сигнал ■имеет конечную длительность и известна его корреляционная функция. Для этого случая доказывается, что интервал дискрети­зации должен быть равен интервалу корреляции:

00 —30

т. е. отсчеты функции по теореме Котельникова представляют со-•бой не что иное, как ближайшие некоррелированные значения функции.

Для аппроксимации непрерывных функций широко использу­ются ортогональные функции и многочлены. Основные их досто­инства связаны с тем, что коэффициенты базисных функций могут получаться независимо друг от друга и во многих случаях они ■обеспечивают хорошую сходимость.

Напомним, что система функций ф_Ь ..., ф_к называется орто­гональной на отрезке [О, Т], если

Здесь К является нормой ц>и\ если К=1, то функция называется нормированной, а система ортогональных функций называется ортонормированной. Если <р(/) определена в точках t\, ..., t_n, то> ее можно рассматривать как вектор /г-мерного пространства с ком­понентами (pk(tj). Тогда функцию x(tj) можно представить в виде

*=0

где

C_k^k (t) х (t) _?k (t) dt / j £ (t) <?_k* (t) dt

■коэффициенты Фурье, a k(t) —весовые коэффициенты.

Рис. 21.4. Произведения дискретных ' значений и функции отсчета

Рис. 21.5. Размещение узлов ап­проксимации при использовании многочленов Чебышева

Рис. 21.6. Многочлены Чебышева

В табл. 21.1 приведены в сжатом виде данные некоторых орто­гональных базисных функций.

Узлы аппроксимации многочленов Чебышева (рис. 21.5) опре­деляются путем решения уравнения T_n(t)=0. Они имеют гармо­ническое расположение (рис. 21.6), при котором узлы распределе­ны гуще к концам отрезка наблюдения. Использование узлов Че­бышева приводит к уменьшению погрешности аппроксимации по сравнению с равномерной дискретизацией.

Остаточный член многочлена Чебышева равен

[(М„₊₁|/я+ 1)/2"(/г + 1)П(ед^я+1.

W₀=R₀

Ц=Ь

W₃=R,R_Z ■

W₆=R_ZR₃ W₇=R₇R_Z^3 W₈=R₄ ■

1 t
1T T z '
	*
	t
	'J^
	t
—If—] f-^1 —	t
	" *
	1 г
	\
■■■	1 *
	1
	t

Многочлены Чебышева во мно­гих случаях дают лучшее и более экономное приближение, чем дру­гие базисные функции.

Весьма удобно для практиче­ского использования при аппрокси­мации непрерывных функций и в ряде других приложений разложе­ние функций в ряд Фурье с коэф­фициентами Фурье — Уолша [11.8]. В рассмотренных ранее ортого­нальных многочленах определен­ную трудность представляет форми­рование функций фя(^) (в виде си­нусов, косинусов, степенных выра­жений и т. п.).

Разложение интегрируемой в квадрате на отрезке' [О, Т] функ­ции х (t) в ряд Фурье с использо­ванием функций Уолша W_K(t) вы­полняется по формуле

**('/) = £ ^C*WW k=i

Коэффициенты Фурье — Уолша

единичной весовой функ-

(при ции).

Рис. 21.7. Функции Радемахера R и Уолша W

Система функций Уолша образуется из функций Радемахера (рис. 21.7). Функция Радемахера т-го порядка определяется при целых положительных m следующим образом:

RJt) = sign sin (2^m+1irf),

или

+ 1, если — <t<-^-

ад=-

\t-

(нечетные интервалы, начиная с 0); 2t + i^^ 2-;+2

— 1, если

₂-„ -- - ₂„

I

(четные интервалы i); Я, 0 = 1. 1 — порядковый номер интервала зада-

Здесь i=0, 1, .... 2'"-¹

НИЯ фуНКЦИИ R_m{t).

Чтобы из функций Радемахера, являющихся нечетными, полу­чить полную ортогональную 'систему, нужно образовать произве­дения вида (рис. 21.7).

^w_{mi mi}(t)=R_miV)X-..XR At).

Для построения функций Уолша может быть использовано сле­дующее соображение. Функции Радемахера соответствуют деле­нию отрезка [О, Т] на 2". Следовательно, W_u W₂, W*, W₈ . .. рав­ны соответственно Ri{t), #г(0> Rs(t), Ri(t) ... Формирование промежуточных (между двоичными) значений W\ осуществляется в соответствии с формированием чисел в двоичном коде. Напри­мер, W₃(t)=R,(t)R₂(t); Wi(t)=X₃(t)R₂{t)Xi(t).

В некоторых случаях удобно использовать обозначения W_si и W_cl, введенные по аналогии с тригонометрическими функциями.

Процесс получения коэффициентов Фурье — Уолша соответст­вует умножению матрицы Уолша W„ [строки этой матрицы равны значениям функций Уолша в двоично-рациональных точках от­резка (О, Г)] на вектор-столбец исходных данных:

* Со)

c_fi=w_mx

*('»)

Для определения коэффициентов выполняются операции сло­жения и вычитания; умножения при этом отсутствуют.

Имеется возможность использовать так называемый алгоритм быстрого преобразования Фурье — Уолша, применив преобразова­ние Адамара для каждой пары последовательных дискрет x(tj):

Ь,.=

*,■+!

ХН,

где

Н =

— 1

— матрица Адамара.

Для вычисления 2^п коэффициентов Фурье — Уолша необходимо п раз последовательно применить это преобразование, и, следо­вательно, общее количество операций сложения и вычитания бу­дет равно п2^п.

Ряд Фурье с функциями Уолша для всякой функции x(t), интегрируемой на отрезке [—h.t/2^t^At/2], сходится к ней в среднем.

Остаточный член для ряда равен

M_n+i ( Ы у+1 2"(/г+ 1)\ \ 2 J ■

Отсюда может быть определен интервал квантования по вре­мени, необходимый для восстановления исходной функции с задан­ной погрешностью.

Имеется обобщение теоремы отсчетов (теоремы Котельникова) ша ряд Фурье —Уолша, согласно которому каждая временная функция x(t) полностью характеризуется дискретной последова­тельностью значений отсчетов x(mAt), взятых через Д;=1/2/_с= -=T/2^n+l. При этом действительно соотношение

* (9= S x(mte)r_n{t — m£d),

а-де

V(f) = .

1-дляО<^<(-^1_г)Г;

О — для остальных значений t.

Между наивысшей частотой процесса и п имеется очевидная чгвязь:

fc=2"/T,

'где Т — продолжительность выборки непрерывной величины.

В заключение следует подчеркнуть, что выбор системы базис-шых функций для аппроксимации должен производиться с учетом ■сведений, которые имеются об исследуемой функции перед выпол­нением измерения.