13.6. Дискретизация непрерывной контролируемой величины

Необходимость дискретизации непрерывных контролируемых величин {x(t)} возникает при проведении операций контроля че­рез некоторые интервалы времени, обусловленные, например, тем что устройство контроля в этих интервалах загружено определе­нием состояния других величин.

Такой контроль называется далее дискретным в отличие от непрерывного контроля, при котором устройство контроля, не от­рываясь, определяет состояние только данной контролируемой ^величины.

Положим, что известно поведение контролируемой величины во времени и оно описывается степенным многочленом x(t) — = ao~\-ait-\-a₂t²-\-... -\-a_mt^m. Тогда для допустимого изменения этой величины a_Ron=o.it~\-a₂t²~\-.. .-\-а_тР^п можно найти интервал времени At, через который необходимо провести операцию конт­роля состояния объекта.

Если заданы вероятность и интенсивность отказов и их связь со временем, например, выраженная в виде экспоненциальной функции р = е~^м, то может быть определен интервал времени, че­рез который следует произвести операции контроля объекта.

При дискретном контроле случайной величины x(t) для опре­деления интервалов дискретизации не удается непосредственно использовать математический аппарат теории дискретизации, при­меняемый при измерении. Это объясняется в первую очередь спе­цификой контроля как процедуры сжатия информации.

•V
\ f(Xj
V	^
У)
/				\ /
г 1 i
	к;
		|					t

Произведем сравнение среднего времени выхода контролируемой вели­чины за зону допуска с интервалами дискретизации при равномерном и адаптивном допусковом контроле.

Рассмотрим в качестве предельно­ го случай непрерывного контроля (рис. 13.14), характеризующийся тем, что устройство контроля фиксирует все выходы контролируемой величины x(t) за установленную зону нормаль­ ного состояния [с_н, с_в]. Примем сле­ дующие допущения: Рис. 13.14. Случай непрерыв- контролируемая величина являет-

ного контроля ся стационарной случайной функции

ей времени с нормальной плотностью распределения вероятностей

1 -(х-М_у)Ч2з\

X..

K&i

f(x) =

\время, затрачиваемое на контроль, пренебрежимо мало. Среднее число операций контроля, фиксирующих выход конт­ролируемой величины за [с_н, с_в], в течение времени Т равно:

(с_в — М_х)

1 °у ( Г (Св — My)*

+ехр

2°^ах J I '

^_CD = T- — ехр %, ^х>

^ср 2я °И [ ²°^ах

где о²х — дисперсия контролируемой величины, а а²_х—дисперсия

ее первой производной.

Суммарное время нахождения контролируемой величины в

пределах [с_н, с_в] равно 2 Ыг = рТ, где р— априорная вероят-

/ ность нахождения контролируемой величины в зоне [с„, с_в] ■

Среднее время между переходами контролируемой величиной уставок в этом случае составит:

"ср-

Если учесть, что

1

_I'

Р=1Гк=

I

Vbio_x 2

ехр

(с_в-М_х)*

2o2_v

+ехр

(с„~Мх )^а 2oa_v

и обозначить 2с^ [\/~2ъ через Ьа_х, то Ы_к_<ъ = 11Ьа_Яш

При контроле непрерывной величины через некоторые интерва­лы времени достоверность контроля по мере увеличения этих ин­тервалов, естественно, снижается.

Допустим, что в момент t_n выполнена операция контроля и установлено, что контролируемая величина находится в зоне [с_н, с_в]. В этом случае можно считать, что до следующей опера­ции контроля с определенной вероятностью она останется там же. Тогда оценкой результатов контроля может служить вероят­ность р(Х^1) того, что при t>t_n контролируемая величина не выйдет за [с_н, с_в].

На малом отрезке времени At изменение контролируемой ве­личины может быть представлено в виде

x(t_n+At) ^x(t_n)+x{t_n)At,

где x(t_n-\-At); x(t_n) и x(t_n) — соответственно размер контроли­руемой величины в моменты t_n-\-At, t_n и производной контроли­руемой величины в момент t_n выполнения предыдущей операции. Чтобы контролируемая 'величина через время At вышла за пре­делы [с_н, с_р] через границу с_в, должно быть выполнено условие

x(t_n)-\-x(t_n)Al^c_B, а через границу с_н — условие x(t_n)-\--\-x(t_n)At^.c_li (рис. 13.15). Заштрихованный участок определяет значения x(t_n) и х(1_п), при которых контролируемая величина за отрезок времени не выйдет из [с_н, с_Е]-

Значения x(t_n) и x(t_n) неизвестны и имеют случайный харак­тер. Поэтому можно оценить лишь вероятностные характеристи­ки возможности выхода контролируемой величины за время t_n до t_n-\-M из зоны [с, с_в]. Вероятность р(с_н<х^с_Е) =р зависит ют ширины интервала /, динамических свойств контролируемой

"77//////////////,

'////////у

_yxft_n)=c_e-±(t_n)At

I

47777777777,

X

Рк

Рис. 13.15. Композиция fi(x) и h(x)

Рис. 13.16. К определению вероятности Ро (6)

■величины и значения x(t_n). Она может быть определена интегри­рованием условной плотности f(x, х\с_н<Сх^.с_ъ) по областям / и //. Если распределение х также нормально, а производная нор­мальной случайной функции для данного момента времени не за­висит от значения этой функции, то тогда

f(x, x\c_ll<x<c_B) = f₁(x\c_H<x<c_t)U(x),

где

I г* l (* — ^мхУ\

/₁(*k.<*<_CJ = f,W| J №dx= _ру-_вх ехр —й£-\;

_м*)=-

VTki

ехр

_НУ'

Вероятность 1 — р может быть найдена как

(1-/7) = j f₂{x)dx I М*К. c,)dx +

г —Xk t

GO " В

(c„-rj/u*

* н в"— в

+ J f,(X)dX J fi(*K. О

dx.

При малых Д£ (рис. 13.16) вероятность р будет равна: p₀=l-M[dp/d(At)]^₀,

\ отсюда \

[dp/d(U)]_At=Q

и= ¹-^р°

Дифференцируя выражение 1—р по At и подставляя его в вы­ражение для At, можно получить допустимое значение интервала контроля как

"^ьдоп ^

2пау

{ехр 1-(с_в- М_х)У2а2_х] _{+ еХ}р [ - (с_н -М_х)*/2^_х\}

где р и р*₀ — априорная и заданная вероятности нахождения контролируемой величины на отрезке [с_н, с_Е].

При 1<Ох интервал квантования Д/_Доп« (1—р*о)ИЬа²х- Фор­мула для определения интервала квантования является прибли­женной, и ее точность повышается с уменьшением ширины отрез­ка [С_н, С_в].

Если задается высокая достоверность определения нахождения контролируемой величины на отрезке '[с_н, с_в], то время между операциями дискретного контроля по сравнению со средним вре­менем между переходами уставок контролируемой величины су­щественно уменьшается.

Значительное увеличение среднего 'времени между операциями контроля (уменьшение количества операций контроля) можно получить, если сделать интервалы времени между операциями контроля различными, зависящими от значения контролируемой величины, полученного путем измерения. Используем выражения

x(t_n)^[c_B—x(t_n)]/At и £(*„)<;[с„—x(t_n)]/At,

полученные для дискретного контроля, и подсчитаем вероятность их выполнения:

lc_B-x)lbt

Р°= I (1/|/^Л2^)ехр[-^/2с^г*]^ +

(*-с_н)/д* + j (1 / |/"2Ц.)ехр[-х*12о\]dx.

(с_в-х)

^тахт(^х~^сл)

Рис. 13.17. К определению интерва­ла дискретизации при i знании конт­ролируемой величины

При заданной вероятности р₀ и известном (измеренном) значе­нии х можно вычислить значение интервала времени М_и, на кото­ром выполняется операция кон­троля с измерением. Характер зависимости At_n(x) показан на рис. 13.17. Устройство контроля должно работать в этом случае в адаптивном режиме, определяя после каждой операции контро­ля и измерения интервал време­ни, через который следует про­извести следующую оценку кон­тролируемой величины. Существенное упрощение аппаратуры может быть достигнуто, если аппроксимировать функцию At_K(x) отрезками прямых. Зна­чение интервала квантования для этого случая

AU_M^№i)(l/^), где k определяется из выражения

dt.

_{Л=т1г1ехр (~т)}

Среднее значение интервала квантования

Д4._ср « Ы_итах/2 = (1/Ьа_к ) (1 /2k УЩ.

Если выбрать р₀=0,997, то k=3 и Д£_и._ср~(1/15) (l/ba^).

Сравнив между собой интервалы квантования по времени для трех рассмотренных случаев (непрерывный и дискретный конт­роль, контроль с измерением) при р₀=0,997, получим, что отно­шения Л^н.ср-к Д^доп и к А^и равны 370 и 15.

В САК наибольшее применение имеют варианты непрерывно­го контроля (при параллельной структуре системы контроля) и дискретного контроля с постоянным интервалом квантования конт­ролируемой величины (при последовательном использовании ка­нала контроля).

Для приближенного определения интервала контроля при из­вестных погрешностях устройства контроля и максимуме модуля первой производной контролируемой величины можно воспользо­ваться выражением

A t = У max/ \dx(t)/dt\max.

При этом Утах можно принять, например, равным Зсу, а \dx(t)/dt\_max определить, проведя соответствующий анализ f(x). Мы рассмотрели выше выбор интервала дискретизации непре­рывной контролируемой величины. При проектировании систем

автоматического контроля задачи выбора интервала между опера­циями контроля решаются в соответствующей постановке в зави­симости от объекта контроля. Так, при контроле нескольких вели­чин \>дним устройством необходимо выбрать интервал контроля по каждой величине и предусмотреть равномерное циклическое выполнение в течение наименьшего интервала времени необходи­мых операций по всем контролируемым величинам или организо­вать выполнение операций контроля со своим интервалом конт­роля для каждой величины.