20.1. Критерии оценки погрешностей измерения входной величины

В результате измерения неизвестной входной величины х по­лучается ее приближенное значение х* (с погрешностью е). Под погрешностью понимается степень близости результата измерения к истинному значению измеряемой величины.

Погрешность измерения е вызывается, во-первых, неточностью изготовления аппаратуры, изменением ее характеристик во време­ни, чувствительностью к неконтролируемым внешним мешающим воздействиям у, а во-вторых, неточностью самого метода измере­ния. В соответствии со сказанным можно различать аппаратур­ную и методическую составляющие общей погрешности. Так как факторы, вызывающие появление погрешности измерения, вообще говоря, имеют случайный характер, то и погрешность измерения следует рассматривать как случайную величину [20.1, 20.2].

Наиболее полной характеристикой погрешности е вследствие возможности ее статистической связи с измеряемой величиной х является условная плотность распределения вероятностей f(e|x), которая теряет условный характер и имеет вид f(e) при отсутст­вии такой связи. Плотность распределения вероятностей содержит всю необходимую информацию для оценки погрешности, однако она не всегда известна. Поэтому на практике используется неко­торое количество параметров (показателей) этого распределения так, чтобы эти параметры в достаточной мере характеризовали по­грешность исследуемой системы. В качестве оценок погрешности отдельных устройств и измерительных систем наиболее широко применяются экстремальные, интегральные оценки и оценки, осно­ванные на применении доверительных интервалов и вероятностей.

К экстремальным оценкам погрешности относятся:

модуль максимального отклонения

Ътах^^¹1X—X" | max',

модуль максимальной относительной погрешности

£ . [X X \niax .

" К

модуль максимальной приведенной погрешности

* I^{х х}*[пах

°пр у

^лтах

К интегральным оценкам погрешности (если х и х* — случай­ные величины) относятся:

средний модуль отклонения

со со

f \f (к, x*)\x — x*\dxdx*;

—GO —00

средний модуль относительной и приведенной погрешности

со оо

Г (>(у, х*) ^]х _х^хП dxdx*;

•00—ОО 00 ОО

f ff(*, х*) ^|х~^х*¹ dxdx*;

—00—00

среднее квадрэтическое отклонение

Г со со

o_t = l/ J Jf(*. х*){х-к*)²dxdx*

—СО —00

или дисперсия

со сое

£>_е= f у (х, x*)(x — x*fdxdx*.

—со—оо

Под знаком интеграла в качестве сомножителя стоит выраже­ние совместной плотности распределения вероятностей измеряемой величины i и ее приближенного значения х*.

Оценки погрешности, основанные на применении доверитель­ных интервалов и вероятностей, позволяют определить, с какой вероятностью |3_Д погрешность системы |е_д| не выходит за задан­ные пределы ±ео:

Р{|е_д|<ео} = р_д.

Для определения доверительной вероятности по заданному до­верительному интервалу в общем случае необходимо знание плот­ности распределения погрешности f(e):

—ЕО

В частности, для нормального закона распределения /?{Ы<0}=О,68; р{|_ед|<2о}=0,95;

р{|е_д|<3с} =0,997.

Если кривая плотности распределения погрешности неизвестна, но известна ее дисперсия D_E, то при М_е=0 можно найти верхнюю оценку доверительной вероятности, воспользовавшись неравенст­вом Чебышева:

|3*д^1—De/бд².

Оценка неравенством Чебышева дает завышенные значения до-шерительных вероятностей, особенно для малых отношений

При выборе допустимых погрешностей отдельных устройств или систем, а также для их сравнения в ряде случаев широко ис­пользуются г.ак называемые функции штрафа (потерь). Функция ■штрафа определяет размер штрафа, налагаемый в случае наличия разницы между истинным значением измеряемой величины и ре­зультатом измерения. Разумными требованиями к функции штра­фа могут быть:

а) любая погрешность «облагается» штрафом

■я{х, х*)^0;

б) при отсутствии погрешности штраф равен нулю

у, (х, х)=0;

в) большие отклонения х* от х «облагаются» большим штра­ фом, т. е. для x^Xi*^X2*

%(х, Xi*)^k(x, х₂*).

В качестве функции штрафа наиболее часто используются раз­личные оценки погрешности, взвешенные соответствующими коэф­фициентами.

Так как в общем случае х и х* — случайные величины, тс и 'функция штрафа является случайной величиной. Можно произ­вести усреднение выбранной функции штрафа щ при фиксирован­ном значении Xt (так называемый условный риск):

00

g(x,, x*)= Jx/Cx,-, x*)f(x*IXi)dx*,

—СО

•и для всех возможных значений х и х* (так называемый средний риск):

GO 00

G(x, х*)= Г \kj(x, x*)f(x, x*)dxdx*.

—00—00

Для характеристики средства измерения нужно знать условную плотность вероятностей f(x*/x) результатов измерения х* при фиксированном значении измеряемой величины х. Считается, что ■при измерении величины х, имеющей плотность распределения вероятностей f(x), измерительная система 1 не хуже измеритель­ной системы 2 по критерию G, основанному на функции штрафа ■к,(х, х*), если

И СО 00 СО

f [%,(х, х*) М*, K*)dxdx*< f Wj{x, x*)k(x, x*)dxdx*.

—00 —CO ,'' —30 —CO

При оптимизации измерительных систем в качестве критерия оптимальности используют средний риск, добиваясь min min Gx Х.(х, х*) (минимальный критерий) или min max G (а', х*) (мини­максный критерий). Последний критерий применяется тогда, когда должна быть гарантирована минимальная погрешность при любых законах распределения вероятностей f(x).

Универсальных оценок, пригодных для сопоставления между собой различных ИС, не существует. Можно показать, что, поль­зуясь даже одной оценкой, одно и то же средство измерения можно. признать лучшим или худшим_> чем другое, в зависимости от вида. закона распределения вероятностей измеряемой величины.

Уместно назвать некоторые разумные области использования тех или иных оценок.

Так, экстремальные оценки целесообразно использовать в та­ких случаях, когда важно оценить, насколько результаты изме­рения могут отклониться от действительного значения. Такие оцен­ки важны при исследовании, положим, процессов, проходящих вблизи аварийных ситуаций, при исследовании предельных значе­ний прочности силовых конструкций и т. п.

Для оценки погрешностей измерения, предположим, количества выпускаемой продукции при непрерывном производстве или во­обще для оценки ИС в среднем правомерно использовать инте­гральные оценки и оценки, основанные на применении доверитель­ных интервалов и вероятностей.

Таким образом, соответствующие оценки погрешности должны. выбираться в зависимости от характера измеряемой величины, от целей использования результатов измерения и свойств' измеритель­ной системы.