20.4. О погрешностях квантования по уровню и округления при вычислениях

В средствах ИИТ операции квантования по уровню либо вы­полняет экспериментатор (если используется представление ин­формации в аналоговом виде), либо они выполняются автомати­чески (в цифровых измерительных приборах, в АЦП, входящих в состав ИИС).

Квантование по уровню приводит к погрешности (иногда ее называют шумом) квантования по уровню, вызванной округле­нием значения непрерывной неизвестной измеряемой величины до какого-либо (обычно ближайшего) значения известной дискретной величины. Следует заметить, что в случае, если исследуемая ве­личина в процессе квантования по уровню изменяется во времени или в пространстве, то появляется динамическая составляющая погрешности квантования. Эта составляющая обычно уменьшает­ся до приемлемого уровня путем обеспечения соответствующего-быстродействия средств ИИТ.

В дальнейшем ограничимся рассмотрением статической со­ставляющей погрешности квантования, считая, что измеряема» величина в процессе выполнения операций квантования неизменна.

Наиболее распространено в практике ИИТ равномерное кван­тование, при котором диапазон изменения значений непрерывной величины разделен на п одинаковых частей — интервалов квантования q.

Значения х в пределах шага квантования нужно относить к определенному уровню квантования, обычно к верхней или ниж­ней границе интервала квантования либо к его середине (рис. 20.2). Погрешность квантования Ax_k=kq—х является пе­риодической функцией, изменяющейся в зависимости от значе­ния х в пределах от 0 до —q при отнесении значения х, попав­шего в данный интервал квантования, к нижней его границе, от 0 до -\-q—к верхней границе и от -\-q/2 до —q/2 — к середине интервала квантования.

Так как х — случайная величина с плотностью распределения f(x), то и Ах—также случайная величина, зависящая от х. Тогда вероятность появления значения х в интервале (xk—q/2, Xk-\-q/2) будет определяться вероятностью ошибки Axk-

№к

_z

\N\N|\f\N >

a)^q 5)

Рис. 20.2. К определению погрешности квантования по уровню:

а — округление к нижней границе интервала квантования; б — округление к верхней гра­нице интервала квантования; в — округление к середине интервала квантования

f(x)

f(x_k

-<

—^

з_

z

_I

Математическое ожидание Ax_k Л1[Д*Л= У (₄-x)f(x)dx.

*_ft-.7/2

Дисперсия

Рис. 20.3. Плотность

распределения кван-

туемой величины в пре­делах интервала квантсь ваиия

D[Ax_k] = J (x_k-xff(x)dx.

х_к-ЯР

Полагая, что q<^x_max—x_miri, можно считать, что f(x) постоян­на в интервале q и равна f(x_k) (рис. 20.3), т. е. f(x_k)q=

x_k+ql2

Г f{x)dx. Тогда M[Ax_k]=0, a

V-9/2

x_k+ij/2

D{Ax_k]=f(x_k) J (_X-x_kfdx^^f(x_k)q³

x_k-q!2

= ~iTQ²[f(x_k)q].

Следовательно, дисперсия D[Ax_k] является произведением дис­персии равномерно распределенной в интервале q величины х на вероятность попадания х в этот интервал. Просуммировав вы­ражения для D [Axk] по всем уровням хи, получим дисперсию

■погрешности квантования как математическое ожидание диспер­сий на отдельных уровнях квантования:

п п

P^Y₁D[AK_k]=~?Y_if(x_k)q.

Если 2 f(«*)<7=l. то D_E = tfl\2.

Таким образом, с достаточной точностью погрешность кван­тования можно полагать равномерно распределенной в пределах •интервала квантования случайной величиной с М [Дх/г] =0 и £)₂=<?²/12 (при отнесении результата квантования к середине кванта).

Выше кратко рассматривалась погрешность при равных интер­валах квантования по уровню. Возможна, однако, постановка за­дачи оптимального квантования по уровню, при котором интер­валы квантования могут быть не равны между собой. Так, на­пример, решение этой задачи с учетом функций штрафа позволяет ■получить полезные результаты.

Необходимо сказать, что проведены многочисленные исследо­вания погрешностей квантования при учете смещения шкалы квантования, дрейфа и порога чувствительности устройств срав­нения и т. д.

Приведенный же выше материал позволяет в первом прибли­жении оценить погрешность квантования по уровню.

Применение ЭВМ связано с необходимостью оценивать ин­струментальные погрешности, которые могут возникнуть при вы­полнении вычислительных процедур из-за ограниченной разряд­ной сетки машин. Наиболее подробно вопросы оценки этой по­грешности рассмотрены в [20.4].

При выборе алгоритмов вычислений, как правило, применяет­ся условие, чтобы абсолютная методическая погрешность вычис­лений не превышала 2~^га, где т — разрядность ЭВМ.

Операции округления в ЭВМ осуществляются обычно путем простого усечения неучитываемых разрядов или симметричного округления с учетом значения старшего отбрасываемого разряда. Если / — число неучитываемых при округлении разрядов при рав­номерном законе распределения вероятностей округления (что справедливо в большинстве случаев при т^8), то дисперсии по­грешности простого усечения и симметричного округления

D_y [Az„„] =Dco [Az„_H] = (1/3) 2-²(-+') (1-2-*).

.Уже при сравнительно небольших /

D_y [Д2ин] =D_c.o [Аг_ии] ^2-^2га/12.

Математические ожидания инструментальной погрешности дли этих процедур округления равны:

М [Azhh] у=— [2-он-¹) (1—2-0 ];

М[Аг_Ш1]_с.₀=[2-^+1+Щ.

При Z^>1 данные выражения принимают вид

М [Az_HH] у» — [2-<"+'>]; M[Az_IIH] с.о^О.

Погрешности усечения имеют отрицательный знак для любых: арифметических операций над числами, представленными в пря­мом и дополнительном кодах. Поэтому при большом количестве-последовательных арифметических операций погрешности могут накапливаться и превысить допустимый уровень. Особенно нуж­но производить оценку этой погрешности при разрядной сетке-ЭВМ, близкой к разрядности т₀ АЦП.

В качестве примера проведем расчет числа разрядов ЭВМ,. исходя из условия обеспечения требуемой точности выполнения операции умножения чисел Z\ и z₂, изменяющихся от 0 до 1. Дис­персия и математическое ожидание инструментальной погрешно­сти данной операции при равенстве числа то разрядов Z\ и z₂ и при числе усекаемых разрядов /3>1 могут быть определены из; приведенных выше формул.

Погрешность результата умножения, обусловленная погреш­ностями измерительных каналов, может быть рассчитана по со­отношению

Если систематические погрешности z\ и z% измерительных уст­ройств скомпенсированы, то математическое ожидание данной погрешности равно нулю. Дисперсия этого выражения зависит ог дисперсии погрешностей сомножителей. Если принять, что сомно­жители равны друг другу и количество их разрядов равно т₀, то*

D [Д (г,г₂)_АЦП1 = [2-^2т° (К² + 12)/12К²] (г," +гД

где K=q/o, а а — средняя квадрэтическая погрешность измери­тельного такта.

Максимальное значение это выражение принимает при Z\_max=t

И Z₂ma*=l:

D[b(z_iZ2)_Am) = 2.2-^2m°/K.

Пусть D[A(z₁z₂)_m]^W[A(z₁z₂)_mn\, где 8 -доля диспегеии ре­зультата, обусловленная погрешностями АЦП, которую не долж­на превышать дисперсия инструментальной погрешности резуль­тата. Применение этого условия дает 2^_2т/12^52-2^—"^т° у^ Х(К²+12)/12К², или К726(К²+12)<^2²'"-^2то = 2^2Лт. Отсюда

lAm^]0,51og₂ [К²/26(К²-\-Щ] [. Здесь ]•[ означает ближайшее сверху целое число. В частности, при i<=6 (q=6c) и 6=2~⁴ Ат^ ^2. При более сложных вычислительных процедурах методика опре­деления количества дополнительных разрядов остается аналогич­ной. Что касается дисперсии инструментальной погрешности вы­числительного устройства, то она в первом приближении может -быть определена умножением D_y[Az_KH] на количество проведен­ных арифметических процедур. В [20.4] показано, что инстру­ментальные погрешности ЭВМ и погрешности аналого-цифрового преобразования оказывают наибольшее влияние на погрешность процедур деления, особенно при большой разности размеров де­лимого и делителя.

Расчет результирующей погрешности типовых вычислительных процедур приведен в [20.4]. На этой основе там сформулированы некоторые принципы рациональной организации программ вычис­лений, позволяющие предусмотреть возможности появления зна­чительных ошибок и получить необходимые точности вычислений да ЭВМ.

Заслуживает внимания рекомендация иметь в арифметическо-.логическом устройстве ЭВМ при относительно несложных преоб­разованиях информации 2—4 дополнительных (по сравнению с разрядностью АЦП) разряда.