Глава 6. Двухфазные системы

§6.1. Морфология и упругость

Большинство сплавов состоит из двух (или более) твердых фаз. Они различаются или составом, или типом решетки, или тем и другим. Уп­рочнение определяют природа фаз, строение границ раздела (§6.2) и морфология - связность, форма, взаимное расположение и ориенти­ровка частиц.

Связность. Связность - признак топологический. В зернистом пер­лите феррит связный (матрица - один сплошной массив), а цементит - нет (изолированные друг от друга частицы). Обе фазы не связны в пла­стинчатом перлите: ни одна частица (пластинка) не имеет контакта с другой частицей той же фазы. Обе фазы связны в структурах спино- дального распада (подобных трехмерной сетке арматуры, залитой бе­тоном) или при несплошной цементитной сетке в железе. Связность не обусловлена объемной долей v или удельной поверхностью фаз: ре­шетка стержней связна, какими бы тонкими они ни стали; в твердых сплавах связна тонкая прослойка металла i/«l, а зерна карбида (v~l) изолированы.

Связность в трех измерениях не видна на плоском шлифе: ее можно проследить лишь по стопке параллельных срезов (с переполировкой). Только для структуры из одинаковых равноосных зерен двух фаз связ­ность предсказуема по шлифу из сравнения протяженности границ а/а, а/у, у/у [1301, 1302].

Комбинации разной связности и разной зеренной структуры много­образны. В дважды связных структурах Ьзаимопроникающие каркасы двух фаз могут быть монокристальными (как при спинодальном рас­паде) либо построенными из отдельных равноосных зерен. В пластин­чатом перлите каждая пластинка - монокристалл, но бывают и струк­туры из поликристаллических слоев (как при структурной полосчато­сти стали).

Частицы. Форму изолированных и обычно выпуклых частиц клас­сифицируют по соотношению трех взаимноперпендикулярных диамет­ров: а-Ь^с - шаровидные, а»Ь*с - иглы (нити), а*Ь»с - пластинки (диски, линзы).

В эвтектиках нередки невыпуклые частицы перистые (пучок листьев от общего кор- . ня, растопыренный или свитый в кочан, как графит в сером или в сфероидизированном чугуне), ветвистые - дендриты тугоплавкой фазы или малый остаток легкоплавкой в междендритных промежутках (как MnS в стали), двумерные дендриты, растущие по границе зерна (как М02С в молибдене) Чтобы распознать дендритную структуру, над⁰

химически растворить матрицу и рассмотреть остаток в сканирующем электронном микроскопе.

Форму и ориентировку частиц меняют большие пластические де­формации: нити и пластинки поворачиваются к оси растяжения, вытя­гиваются, дробятся. Если поперечник слитка Н, а конечный размер проката /г/Н~\0 '..ЛО ³, то равноосные включения могли вытянуться в отношении H/h в листе (сохраняя размер в ширину) и до (H/h)²~ 10²... 10⁶

• в прутке и проволоке, превращаясь в нити и строчки макроскопиче­ской длины.

Регулярность структур. ’’Совершенно случайное” (пуассоново) раз­мещение крайне редко даже для равноосных частиц. При росте в твер­дом состоянии сближению частиц препятствует истощение зоны пита­ния или созданные частицей напряжения. Напротив, в композиции из порошков обычна кучность от слипания частиц или оторочка крупных частиц мелкими.

Меру на шкале регулярность - скученность дает статистика расстоя­ний Ly между центрами ближайших частиц [1303]. Ближайшие выделя­ют, разбив пространство на полиэдры Вороного: если центры всех час­тиц соединить отрезками и через середину каждого провести перпенди­кулярно к нему плоскость, то около каждой частицы ими очерчен мно­гогранник, в котором все точки ближе к центру ’’своей” частицы, чем "чужой". Отрезки Ly соединяют центры смежных полиэдров Вороного i и у. Двойственное к этому разбиение пространства - на полиэдры Ди­рихле - четырехгранные пирамиды с ребрами Ly.

Два "хвоста” распределения Ly описывают "пустыри” (где течение легче) и "гнезда” (где легче вязкое разрушение). Размер и кучность этих слабых мест определяют сопротивление малым пластическим дефор­мациям и разрушению. Регулярное, без "слабых мест” размещение компонентов - одна из целей технологии композиционных материалов.

Между двухфазными сплавами, полученными "естественным" путем (кристаллизацией из расплавов, растворов, паров, деформацией и пре­вращениями в твердом состоянии), и "искусственными" композициями нет резкой границы ни по способу получения, ни по размерам и форме или регулярности размещения элементов. Как и в сплавах, размер эле­ментов композиций бывает от 10 нм (например, в пористых металличе­ских катализаторах) до 1...10мм (при армировании отливок проволо­кой или прокатке биметалла). Есть композиции, где элементы случай­ной формы размещены нерегулярно (как гравий в бетоне), но ориенти­рованно (как сукно и пряжа). Есть регулярные и одинаково ориенти­рованные (как железобетон или сложнее: с крученой нитью, прядями, тканью, трубками). Сетки и пакеты сеток с объемной долей пор v= 0,63...0,70 получают плетением или вязанием из проволоки диамет­ром 0,04...0,2 мм или из многожильных крученых прядей [1304]. Когда рубленую проволоку войлокуют (осаждают из взвеси в вязкой жидкости на подложку), объем пор достигает v- 0,80. ..0,95 [1304].

Обычно одна фаза - с высоким модулем упругости и прочностью - несет нагрузку, а другая, пластичная обеспечивает сплошность и вяз­кость (снимая местные перегрузки своим течением), а также защищает несущую фазу от внешней среды. Преимущество композиций - воз­можность располагать арматуру макронеоднородно (в наиболее на­груженной части детали), ориентированно (вдоль оси наибольших на-, пряжений) и сочетать фазы независимо от диаграммы их равновесий. Но здесь заложен и главный недостаток ’’неестественных” композиций

• химическая несовместимость компонентов: реакции между ними при производстве и эксплуатации создают - чаще вредный - переходный слой иного состава и структуры.

Золь и гель. Топология нерегулярных композитов обусловлена их происхождением: замораживанием или соосаждением дисперсных сред. Они разнятся агрегатным состоянием частиц и вмещающей их среды: взвесь жидких частиц в газе - туман, в жидкости - эмульсия, твердых в газе - дым, в жидкости - суспензия, взвесь пузырьков газа в жидкости - пена. Эмульсии и суспензии - грубодисперсные среды (частицы 1 мкм и более). Ультрадисперсные среды с частицами 0,01...0,1 мкм - коллоид­ные растворы. В них возможен структурный переход золь - гель: взвесь несвязанных частиц (золь) превращается в систему сцепленных частиц - гель - студень, сохраняющий форму (т. е. с ненулевым модулем сдвига G) и имеющий диаграмму деформации а(е) с пределом текучести и мак­симумом (пределом прочности). Разрушаясь при е~0,1...Ю, гель пре­вращается обратно в золь - вязкую жидкость.

Топологическое различие между золем, гелем и конденсатом дыма (и кучей песка) отражает координационное число г - среднее число частиц, сцепляющихся с данной. В золе с»0, в геле z>2 (в цепи частиц каждая связана хотя бы с двумя), в конденсате твер­дых частиц z>3 (частица неподвижна, если имеет три неподвижных точки, не лежащих на одной оси). Если конгломерат создан силой тяжести, то z>4 (песчинка в куче ложится на три опоры в нижней полусфере и прижимается хотя бы одной песчинкой сверху).

С ростом координационного числа z растет и объемная доля частиц v. Наибольшее

v- тг/Зд/2 = 0,74 в плотнейшей из известных упаковок равных шаров - решетке ГЦК (г = 12), хотя невозможность более плотной упаковки не доказана [665]. Куча из четырех миллионов стеклянных шариков диаметром 0,25 мм имела в жидкости той же плотности (т. е при исключенной силе тяжести) v- 0,550±0,006, а в "сухой" засыпке под собствен­ным весом ^=0,59 [1305] В зависимости от способа получения случайные композиты могут при том же количестве частиц иметь структуру геля или золя, в насыпке порошка есть жесткий скелет связей, а в затвердевшей суспензии или эмульсии его нет.

Чем далее частица от шара, тем рыхлее может быть устойчивая насыпка, горстью спичек легко занять объем, в несколько раз больший, чем объем коробки (v<0,2)

Фракталы. Структура двухфазного сплава - случайная, и любое описание размещения ее составляющих конечными выражениями не­полное. Связность описывает статистика кластеров однотипных час­тиц, степень развития поверхности - фрактальная размерность.

Для описания развитой, сильно изрезанной поверхности многократ­но ветвящихся (например, дендритных) структур полезен предельный 356

Рис. 112. Последовательные стадии превращения отрезка АВ в ломаную бесконечной длины - построение фрактальной кривой Кох (цифры - число циклов разбиения)

переход к фрактальным структурам - регулярным или случайным фракталам (Мандельброт, 1982 г. [1306]). Бесконечная площадь по­верхности при конечном объеме создается в них "бесконечным числом циклов измельчения" с сохранением самоподобия. Реально структура всегда ограничена (любые ее элементы - в диапазоне между размерами образца и атома). Но расширение модели до бесконечной площади поверхности частиц не очень мешает, когда ветвление увеличивает ее на порядки.

В геометрии длину кривой определяют, спрямляя ее цепью п хорд длиной 5 и переходй в сумме их длин L(5) = /?(5)5 к пределу 6->0. Фрак­талы "бесконечно извилистые", для них такая сумма расходится: Ит₅_>оЦ5) = оо. Но из двух бесконечных кривых на конечной площадке t² одна может быть "много длиннее" (из-за большей извилистости). Чтобы сравнивать их между собой, площадь £² разбивают на N(5) = £²/5² квадратов и подсчитывают число /г(8) квадратов, через ко­торые проходит кривая. "Мерой извилистости" служит размерность Хаусдорфа (1919 г.) d_H = lim₆_*₀ [1пл(5)/(-1п6)]. Для обычных гладких кривых всегда можно найти столь малое 5, что в пределах квадрата 5² длина дуги мало отличается от хорды. Для них хаусдорфова размер­ность d_H = 1 совпадает с обычной, топологической размерностью ли­нии dj-\. Кривая фрактальная, если она остается сильно извилистой при любых б, и для нее предел d_H > 1.

Пример регулярной бесконечно извилистой линии на плоскости - крйвая Хельги фон Кох (1904 г.) [1307]: отрезок длиной I делится на три равные части и средняя часть заменяется "крышей" из двух таких отрезков (рис. 112). Каждый из четырех полученных отрезков опять делится на три, в середину вставляется такая же крыша и так до беско­нечности. Длина L_k ломаной в каждом цикле увеличивается в ⁴/₃ раза.

После к циклов L_k = £(⁴/₃)\ и при /с-*» предел L_k-»oo - на конечной площадке размещена бесконечно длинная ломаная. После к циклов длина отрезка 6_к = ^/З^к, а их число и число накрывающих их квадратов ;i_k = 4^к. Отсюда размерность Хаусдорфа d_H = lim_k__>30[ln/i_k/(—1п8_к)] = = lim_{k х} [к 1п4!к 1пЗ] = 1п4/1пЗ *1,26, т. е. d_H >1 - кривая Кох фракталь­ная. Если в том же примере вставлять не "крышу" из двух отрезков, а "зубчик" из трех, то /i_k = 5 и размерность Хаусдорфа dn = 1п5/1пЗ«1,47 выше, чем у кривой Кох, - такая ломаная "более извилиста". В общем случае JV-мерной поверхности в (Л^г+1)-мерном пространстве d_H опреде­ляют разбиением его на кубы объемом б ⁺¹; поверхность фрактальная, если d_H > N.

Как и всякое представление в терминах бесконечно малых, модель фракталов полезна в том интервале масштабов сглаживания б где оп­равданы ее допущения: экспериментально подтверждена линейная за­висимость In L_k (In б_к) при изменении 6_k на несколько порядков (либо соответствующий закон убывания гармоник Фурье-спектра).

С соответствующими предосторожностями можно измерять фрактальную размер­ность физической поверхности по ее взаимодействию с волнами: по рассеянию света или рентгеновских лучей на шероховатой поверхности, по частотной зависимости поглоще­ния электромагнитных волн - скин-эффекту (поглощающая площадь тем больше, чем меньше глубина проникновения). Фрактальна может быть, например, поверхность гальванического осадка (цинка - до dw - ⁵Л [1308]) и вообще поверхность раздела металл

• электролит [1309], что ведет к избирательному поглощению высокочастотного элек­тромагнитного излучения, а также определяет емкость электролитического конденсатора. -

Перколяция. Для предсказания свойств системы частиц одинаковой формы (например, смеси порошков) важна прежде всего связность ка­ждой из фаз. Например, если одна из фаз непроводящая, то для элек­тропроводности смеси нужна бесконечная цепочка частиц другой фа­зы. Когда частицы, соприкасаясь случайным образом, образуют раз­ветвленные цепочки и клубки {кластеры), важен критерий протекания (перколяции) - образования бесконечного кластера [285].

Если у частицы есть г возможных мест присоединения (например, граней зернами они заполнены (связаны с другой такой же частицей) с вероятностью р, то последовательное присоединение новых частиц образует кластер простейшего типа - дерево Бете, где ветви не могут срастись друг с другом. У частицы на конце ветви г-1 свободных свя­зей, и если вероятность их заполненияp<M{z-\) (в среднем менее одно­го продолжения ветви), то рост дерева когда-то прекратится. Если же p>\!(z-\), то каждая ветвь имеет в среднем более одного продолжения и дерево растет бесконечно. Критическое для дерева значение Pi — l/(z — 1) - порог перколяции (для протекания по связям). В част­ности, это порог перехода золь-гель в суспензиях. При р>р_с есть беско­нечный кластер (а также конечные любых размеров, статисти­ка которых находится из вероятности обрывов всех ветвей [285]).

Если считать периметром кластера узлы без продолжения, а объемом ("массой") - все его узлы, то отношение периметра к объему - это вероятность, что узел концевой. р = (1 -р)^г~\ Она не зависит от объема (числа узлов N). В обычных телах доля поверхно­стных узлов Р ~ N^m убывает с объемом, а у дерева Бете - нет, т. е. у него развитая по­верхность - это фрактал.

Дерево Бете - простейший тип кластера: его ветви не сталкиваются друг с другом, и между любыми двумя узлами есть единственный путь. Если же допустить сращивание (самопересечение) ветвей, то путь не единственный, и порог перколяции выше. Точные решения большинст­ва таких задач неизвестны, но из численного моделирования на се­мерных правильных решетках [285] порог p_c*dlz(d-1).

Модули упругости. Если в каждой из двух фаз действует линейный закон упругости <jy = Qj_kfe_k„ то и в двухфазном материале он линей­ный: средние по всему объему напряжения <ау> и деформации <е_к£> связаны как сту = Cy_k£e_k„ но надо найти модули упругости двухфазной структуры С_№,.

Для полного решения задачи о поле деформаций и напряжений в двухфазной среде надо задать все контуры границ фаз. В микрострук­туре это нереально. Для модуля упругости двухфазной среды можно найти пределы, в каких он находится при любых конфигурациях гра­ниц, если структура макрооднородная (одинаковая в любом объеме, много меньшем образца, но содержащем много частиц).

Модуль Юнга Е двухфазной структуры всегда заключен между зна­чениями Е\ и Е₂ модулей составляющих фаз. Очевидны два предельных случая: одноосное растяжение вдоль бесконечных пластин или перпен­дикулярно им. В первом случае в обеих фазах одинаковы удлинения 8, а складываются силы, т. е. средние напряжения <ст> = CTivi+a₂i^ = = S( V\E\ + V2E2) или

Е = _V\E\ + v₂E₂. (6.1.1 а)

Здесь модуль упругости меняется линейно с объемной долей фазы v. Во втором случае одинаковы силы и напряжения а, а складываются удлинения: <е> = г\ vi+s₂v₂ = c(vi/Ei+v₂/E₂), так что линейно с v меня­ются не модули Е, а обратные им величины - податливости

1. IE - v_xIE_x+v₂IE₂. (6.1.1 б)

Если компоненты упруго анизотропны, модули С*у_к, лежат в преде­лах такой же вилки Хилла: одна граница, когда деформации всюду од­нородны: е_к, = <е_к,>, а различаются только напряжения (приближение Фойгта, 1928г.), другая - напряжения однородны сту = <ау>, а пере­менны деформации (приближение Рейсса). Пример крайних значений вилки Хилла - стопка пластин. В пределе Е\->0 (вторая фаза - пустота)

вилка огромная: если растяжение поперек стопки, то и Е = 0.

Если допустить однородность деформаций и напряжений в пределах каждой упруго изотропной фазы в отдельности, можно найти максимум и минимум возможных значе­ний упругой энергии системы и из них более узкую вилку Хашина-Штрик.иана [1311] для объемного модуля упругости К

{K2+v_lAK[\ + v₂AKi(K2+4G₂/m^ <К> ^{*1 - v₂AK[\- v^KI(Kx+4G_xll))} (6.1.2 а)

и для модуля сдвига G

[G₂+ V1AG/F2] < < G > <[G\- V2AG/F1]. (6.1.2 б)

Здесь Fi = \+6v2(K2+2G2)AGl[bG20Ki+4G2))\ F\ = 1 - 6i/i(K,+2Gi)AG/[5Gi(3*i+4(n)] и принято А К = (К\ - Кг)>0 и AG = (Gi - Сг)>0.

Крайние значения в этой вилке достигаются в наглядной модели шар из одной фазы с оболочкой из другой. В зависимости от того, что внутри, а что снаружи, получается верхний или нижний предел модуля Е. Для системы WC-Co с большим (в три раза) различием модуля Юнга компонентов вилка Хашина - Штрикмана (2 а, 6) имеет наи­большую ширину всего 3%, а вилка Хилла (1 а, 6) - 30%. Измеренная же от 0 до 100 %WC зависимость E(v) укладывается внутрь вилки (2) и близка к линейной (наибольшее отклонение - на '/б вниз около 1хсо*'/з).

Поскольку есть конфигурации, где пределы (2) реально достигаются, вилку Хашина - Штрикмана нельзя улучшить без конкретных сведений о размещении фаз. Но если мо­дули сдвига обеих фаз одинаковы (Gi = G₂), обе границы для К совпадают: К просто усредняется по объему фаз. Если компоненты упруго анизотропные, то только для кристаллов кубической симметрии объемный модуль К не зависит от их размещения и ориентировки, но для гексагональных зависит [1310].

Допущения о неизменных напряжениях и деформациях в каждой фазе означают, что не выполнены условия равновесия и совместности на границах фаз. Если эти допущения снять, но зато полагать известными (из эксперимента) модули упругости изотропной двухфазной среды, то для каждой из фаз можно найти среднее напряжение <cr>i и его дисперсию 5j² из принципа максимума энтропии поля сг(г) [1310]. При этом распределе­ние напряжений близко к гауссову: вероятность /?(сц)~ехр[- (<* -<а>i )²/5i²]. Для компози­ции WC-Co (где К\/К₂ = 2,32 и G1/G2 = 3,57) при vq₀ - 0,23 среднее напряжение в карбиде на 10% выше, чем во всем образце, а в кобальте на 30% ниже. Напряжения в пределах одной фазы довольно однородны их вариации /<cf>i = '/ю и '/7 соответственно [1310].

Анизотропные частицы. Взаимное расположение и средний размер областей, занятых фазами в однородной случайной структуре, описы­вает корреляционная функция К_с(р) = <с(г)с(г+р)> (где индикаторная функция с(г) = 1, если в точке г находится фаза 1, и с(г) = 0, если фаза 2). Но она мало говорит о свойствах, если структурные элементы силь­но анизотропны. Если модуль упругости второй фазы £₂->0 (пустота), а ее объемная доля малая (т/2->0), то среднее по объему Е^>Е_Х. Но ред­кие тонкие случайно направленные прорези могут развалить образец на куски, т. е. дать Е - 0, хотя корреляционные функции А^_с(р) для этой структуры и для россыпи безобидных пузырьков могут отличаться сколь угодно мало.

При сильно анизотропных частицах (иглы, диски) никак не прием­лемо допущение однородной деформации фазы. Поэтому, например, для россыпи случайно ориентированных частиц - эллипсоидов враще­ния при малой их объемной доле т/<<1 (так что можно не учитывать их взаимодействие) модули упругости меняются линейно [1312]:

и 0(v) = G(0)(1 —P v), но коэффициенты а и (3 зависят не только от моду­лей упругости фаз, но и от формы частиц (отношения осей hid).

Так, для сферических частиц графита в железе a = 0,43, р = 0,83 но с вытяжкой пла­стин до dlh>30 достигаются неизменные далее а» 15,4, р*Ю, а для игл (Ш> 1) а->0.157. Действительно, в чугунах с неизменной объемной долей графита i/=0,l при сфериче­ских его частицах измеренный модуль Юнга на 10 % ниже, чем в железе, а при пластин­чатых - на 60...70% [1313, 1314]. Зависимость E(v) для сфероидизированного графита близка к схеме (la) "параллельного включения", а для пластинчатого - "последовательного" (16) При неизменном v- 0,11 модуль Е монотонно убывал с фак­тором формы т] = лL²I4F (L ~ наибольший размер, а F - площадь частицы в плоскости цшифа). По сравнению со сферическими частицами (где ц = 1) при г| = 10 модуль Е ниже [1314] на 33 %, а при г\ = 40 - на 55 %.

Специфика именно графита в его огромной упругой анизотропии, в плоскости бази­са связи ковалентные и модуль Е= 1060 ГПа (впятеро больше, чем у железа), а вдоль гексагональной оси он в 29 раз меньше [1312]. Модуль сдвига графита в плоскости бази­са ничтожный: G = 0,18 ГПа - ff47 раз меньше, чем в железе. В плоскости пластин лежит как раз плоскость базиса, и вычисленные с учетом анизотропии упругости а-»2,9, но р-*115, т. е. пластинчатый графит сильно понижает модуль сдвига чугуна еще и в силу своей анизотропии.

Для случайно размещенных равноосных включений разные приближения приводят примерно к той же линейной зависимости (3), пока объемная доля их мала (ь<<1). Но они сильно различаются в пределе v->\ (когда частицы, например шары разного диа­метра, могут заполнить почти весь объем, а матрица остается связной). При большом различии модулей упругости Е\!Ет>> 1 для больших v(ao v»0,7) согласие с эксперимен­том (для 16 систем) дало только самосогласованное приближение трехфазной среды: шар из одного компонента с оболочкой из другого помещен в среду с неизвестными модулями упругости, которые и находятся из решения задачи о совместной деформации шара и среды. При этом модуль К - на нижней границе вилки Хашина - Штрикмана (2), но модуль G меняется круче: как G^(l-v)"³ [1315]. Моделирование [1316] методом конеч­ных элементов случайной системы зерен - кубов с очень большой разницей модулей £]/£г ⁼ 1.0³ подтверждает такое, обычное для перколяции, нарастание модуля Е по сте­пенному закону E~(v 1 - i/,)M, где порог перколяции (образования сквозной сети жестких зерен) v_c»0,l, а показатель ц«3.

Металлический войлок. Когда обе фазы связны, а Е₂«Е_и даже очень малая объемная доля жесткой фазы v\ определяет модуль Е.

Предельный случай: нити в пустоте. И в куче гравия, и в стоге сена у каждой "частицы” в равновесии не менее четырех точек касания с ины­ми "частицами". Но гравий жесткий, потому что его частицы равноос­ные и работают преимущественно на сжатие, а контакты - на сдвиг, отчего он скрипит под ногами. Сено мягкое: соломинки длинные и работают на изгиб. В системе нитей случайной ориентировки (и любых криволинейных нитей) практически нет растяжения, для их жесткости важен лишь выбор между изгибом и кручением.

Действительно, сила Р вдоль оси круглой нити диаметром d, длиной L и площадью сечения F= nd²/4 дает перемещение / = PL/EF, так что жесткость при растяжении С] = P/f = EF/L. Та же сила, перпендикулярная оси, даст прогиб/2 = PL³I3EJ и жесткость С₂ = Plf₂ - ЪЕЛ1? Момент инерции при изгибе J = %d /64, и отношение жесткостей о) = С2/С1 = 3{d/L)²/\6 Уже при L>3d отношение о«0,02, т е после отклонения нити от оси силы на угол cp>to - 1° жесткость определяет не растяжение, а изгиб, кривая нить не несет нагрузку, пока не выпрямится (Так жесткость растягиваемого витого каната

много меньше, чем стержня того же сечения, и будет убывать с толщиной нитей как d пока не возобладает их трение)

Соотношение жесткостей при изгибе и кручении легко сравнить для проволочного кольца Если оно неразрезное, то его диаметр 2R при сжатии силой Р в плоскости коль­ца изменяется на j - (Pk/EJ)( 1 - л/4), жесткость С\ = P!f- EJ/R^( 1 - я/4) (В этой стати­чески неопределимой задаче уравнение малого изгиба удобно для перемещений вдоль радиуса d²/7(/?dcp)² = Л/(ф)/£У, где на ^lU окружности А/(ср) = M(Q)+(PRI2) sirup, а момент А/(0) в точке нагружения <р = 0 определен из условий симметрии dr/dcp = 0 при <р = 0 и при (р = л/2 - задача 159) Если то же кольцо разрезать, а силу Р приложить по нормали к его плоскости, то в таком витке винтовой пружины нить работает на кручение, а жест­кость Сг = GJotlnR³ = GJItlR³ (здесь Jo-2J - полярный момент инерции в отличие от экваториального J при изгибе). Отношение С]/Сг = я£У(1 - n!4)G - жесткость одного витка спирали при ее осевом растяжении на порядок меньше, чем при боковом сжатии. Но главное, при растяжении п витков спирали соедйнены последовательно, а при боко­вом сжатии - параллельно, и различие жесткостей нарастает как п². Поэтому кабель со спиральной броней легко гнется, но его нельзя раздавить каблуком.

В объеме, заполненном до v-+\ параллельными винтовыми пружи­нами, модуль упругости вдоль их оси будет меняться с диаметром про­волоки и радиусом витка как EIG\~(dlRf (задача 160). "Пружинки” шерсти в войлоке беспорядочно направлены в одной плоскости и взаимозацепляются. Поэтому при d->0 возможен "металлический вой­лок" - мягкий при изгибе, но жесткий при смятии. Металлическая ре­зина - случайная структура из "бесконечной" спутанной или витой проволоки диаметром d - 0,03...0,5 мм - применяется для фильтров, дросселей газа, демпферов жидкости, фитилей тепловых труб, виброи­золяторов.

Если в объеме Я³ спутана проволока длиной L, то объемная доля металла v-bSlH³ (коэффициенты формы всюду опущены) Проволоки касаются, если их оси проходят на расстоянии d. Тогда средняя длина проволоки меж точками касания t~d!v, а число от­резков (и точек касания) N-L/L При больших деформациях нити соприкасаются чаще, свободная длина меж точками опоры короче, и модуль растет - спрессованное сено жестче.

Когда столбик войлока сечением и высотой Я сжимается силой ЪР, номинальное напряжение в нем Ъа-ЪР£². В столбике п-~(?1Н² отрезка-"бруса", и прогиб каждого f~Pt4EI, а осадка nj последовательно п брусьев соответствует деформации сжатия е = nJlH или, что то же, изменению объемной доли металла 6v= -е = 5alEv. Интегриро­вание от v= vo при ст = 0 даст a/E~v⁴_y т е напряжение меняется как четвертая степень деформации. Действительно, у войлока из стальной проволоки с ростом объемной доли металла от v- 0,1 до 0,7 модуль сжатия вырос с 1 до 10000 МПа - на четыре порядка (но и при v = 0,7 составлял лишь 5 % от модуля Юнга металла) [1317].

Сильное рассеяние энергии в¹ таком войлоке - результат сухого трения нитей. Точка контакта по мере прогиба /’съёзжает вдоль случайно ориентированной нити также на расстояние х-f, что при коэффициенте сухого трения <р поглощает работу A\*yjbP (и столько же при разгрузке). От работы внешней силы Ао~1ЪР это составит долю у = 2А\/Ао*2(р~0,2 при обычном ср~0,1 При больших деформациях вклад в гистерезис дает также необратимый "заскок” и "заклинивание" витков, так что возможно рассеяние энергии 1

Для регулярных "проволочных" композиций модуль Юнга арми­рующего волокна выше, чем у связки, и важна ориентировка волокон. Прямое волокно должно лежать в листе вдоль оси растяжения, а если 362

она наперед неизвестна, то взаимноперпендикулярными или трехна­правленными (под углом 120°) слоями. В тканой сетке все волокна изо­гнуты, но часты точки касания, и при растяжении вдоль "основы" нити выпрямляются только за счет удлинения "утка".

Упругость фракталов. В предельно рыхлых, фрактальных системах частиц (кластерах слипания осадка, спекания порошка) есть "свободно висящие" цепи частиц, жесткие многосвязные комки (блобы) и соеди­няющие их односвязные цепочки ("позвоночник"). Их изгиб и опреде­ляет податливость всей системы: все "держится на ниточках". Поэтому кроме порога протекания по связям р_с (для появления бесконечного кластера) есть и второй порог: р2>р_с Для модуля упругости, когда кла­стер обретет жесткий скелет, где каждая частица оперта на четыре со­седних. При р>р_с с приближением к порогу перколяции р_с модуль упру­гости фрактала меняется по степенному закону Л~(р - р_су; для двумер­ных фракталов [1318] (на численных моделях и в измерениях на пла­стинке со случайными отверстиями) ц«3,5.

Серебряные порошинки размером 0,2 мкм после спекания при 0,4 Г_пл образуют губку относительной плотностью v= 0,06. ..0,30 (используемую как теплообменник для гелия). Модуль Юнга губки составил 1,5 % от модуля для серебра при плотности v= 0,291 и 0,0014 % при v= 0,097 и убывал как E(v)~(v - v_cf к пределу £->0 при v->v_c = 0,062±0,01 (порогу перколяции). При этом показатель ц = 3,8±0,5. Электропроводность убывала по тому же закону с тем же v_l9 но с показателем, ц = 2,15±0,25 (для сквозной проводимости каждой частице достаточно иметь два контакта, а для устойчивости насыпки - четыре) [1319]. При этом предел упругости губки составлял хорошую долю от ее модуля упругости: с/Е = 5 10“³. Осаждение аэрозоля сили­катных шариков диаметром 10 нм дает жесткую при плотности в 1 % прозрачную и газопроницаемую литей­ную форму с теплопроводно­стью в 5 раз ниже, чем у асбе­ста (так как в каналах тонь­ше 0,1 мкм нет конвекции)

[1320].

Соты. Чтобы получить жесткую композицию малой плотности, надо заставить все элементы работать на растяжение (а при сжатии помешать продольному из­гибу распорками). Так уст­роены двумерные соты и Рис. 113. Пустотелые соты

трехмерная пена. В шестигранных сотах (рис. 113) при длине грани L и толщине h объемная доля твердой фазы v = 2hIL >/з. При растяжении сот все действующие в гранях растягивающие силы Р одинаковы, и от них удлинение сот такое же, как ряда вертикальных лент с шагом L 41. Тогда модуль упругости сот при растяжении Е* = EhlL4b - vEI2. При

сжатии Е то же, пока нет потери устойчивости: продольным изгибом

2 2

грани [критической нагрузке Р,СР = % EI/L (§5.8) соответ-ствует напря­жение <з_кр1Е = и²(ЫЬ)²/12 = n²v/\6]. Если предел текучести материала cj_s = (j_Kp, то эффективный модуль Е* обеспечен при степени заполнения

> 4(a_s/E)^m/n (при oJE~ 10^-3 до v>0,04).

Поправка (\+JE/ha)~^l на обычный в технологии начальный прогиб грани / сущест­венно снижает критическое напряжение [1321]. От "кривых” граней, работающих на изгиб, возмущение распространяется, и соты сминаются.

В случайных сотах модули упругости ниже, чем в регулярных (из-за слабых мест). Найденный численно модуль сдвига G в сотах с неизменным числом ячеек на единицу площади почти линейно убывал с ростом среднего квадрата числа п ребер ячейки [1322]. Если стягивать узлы в тесные кучки, <п²> растет за счет больших многогранных "дыр" сетки, но даже при <п²> - <п>²= 3 модуль G всего на 14 % ниже, чем в правильной гек­сагональной сетке, где <п²> = <п>².

Пена. В пористых структурах "вторая фаза" - пустота. Два типа структур из равноосных пустот: швейцарский сыр (случайная система шаров-пор, где связность пустот растет с их объемной долей) и пена. Натяжение граней ячейки Пены до затвердевания уравновешивало дав­ление газа: к каждому ребру сходились три грани, и при равных натя­жениях равновесный угол между ними 120°. Неравные пузырьки пены заполняют пространство почти как полиэдры Вороного. Пена связна при весьма малой объемной доле вещества v«\; в этом ее ценность как жесткой конструкции.

В пене - трехмерных случайных сотах - потеря устойчивости граней труднее, чем в двумерных сотах, но порядок Е* тот же. В медной пене (ячейки 0,4 мм при 92 % пустоты) разнонаправленными нагрузками можно сжать перемычки гармошкой. Тогда при сжа­тии по одной оси пена сжимается и по двум другим, и коэффициент Пуассона отрица­тельный [1323]. v = -0,8. При сдвиге пены зона потери устойчивости растет вширь, как клякса: выбрасывая лучи-"пальцы" (что обычно для фрактальных структур с неустойчи­вым периметром [1324]).

Если пленка на гранях ячеек лопнет, но останется каркас из их ребер (трехгранных стержней), пена "открытая" (со связной пустотой). Открытую пену аморфного углерода плотностью v- 0,035 с ячейками 0,4...4,5 мм дает обугливание пенопласта [1735]. Выжи­гая такую пену, покрытую солью, получали керамическую открытую пену с полыми стержнями из АЬОз [1735]. Ее модуль Юнга Е*/Е» 0,32 v' (вместо E*~~v) из за сохране­ния части мелких граней или растрескивания длинных стержней. Коэффициент Пуассо­на открытой пены отрицательный и зависит от формы ячейки [1085].