§1.6. Неустойчивость и локализация течения

Работа и объем. Пластическая деформация - термодинамически не­равновесный процесс в открытой системе: работа А внешних сил не только накапливается как внутренняя энергия С/, но и диссипирует- обращается в тепло 5Q. Из машинной диаграммы Р(£) работа 50

А - J P(£)dL После нормировки на неизменный объем образца V (или начальную длину £₀ и площадь F₀) ее плотность а = A/V = (\/F₀£₀) J Р(£)d£ = J a(e)de. Ту же величину дает интегрирование диаграммы в

истинных координатах: а = J j(<p)d<p, но не в смешанных s(e) или сг(ф).

Пластическая деформация не изменяет объем (Треска, 1868 г.). От любых остаточных напряжений А V = 0 по условию равновесия. В чис­том металле без фазовых превращений остаточный объемный эффект дают только ядра дислокаций (не более р6²<10~³ при их плотности р < 10¹² см^-2) и вакансии (A V/V = c_v < 10~³ для предельной концентрации c_v). Это меньше, чем от упругой деформации под нагрузкой: AV/V = = (1 -2v)<j/E < 310“?. Более заметные остаточные изменения - признак

микроразрушения: "разрыхления" от надрывов и пор.

Внутренняя энергия. Плотность внутренней энергии м, накопленной деформацией, складывается из энергии дислокаций (Gb /2 на единицу длины (ч. 1, с.92) или щ = pGb²/2 на единицу объема) и вакансий: иг - c_v(Gb³/4)/b³ = c_vG/4. Остаточные напряжения уже учтены в энергии дислокаций. Предельные (по условию спонтанной аннигиляции) зна­чения р ~ 10 см^-2 и Су ~ Ю“³. Для них u\!G < 5 10^-4 и ui!G < 2,5 10^-4, т. е. предельная плот­ность энергии не более (и\+иг) ~ 1 10^_3(7. Возможная энергия упругой деформации у < 10“

2. на порядок меньше: Gy¹! 2 < lO^G.

Теплота деформации. При напряжении т ~ Gb _Л/р /2 для пластической деформации у совершается работа а = ту. Накопление энергии составит от нее долю x = ula = (рGb²)l(yGb~ b(Jр )/у. При больших деформа­циях у ~ 1 эта доля х ~ b^Jp ~ 10^-2 - основная работа рассеивается в теп­ло (не столько "вязким трением" движущихся дислокаций, сколько их аннигиляцией). Это показывает калориметрия: только при малых де­формациях (е < 2 %) до 90 % работы пластической деформации еще накапливается как внутренняя энергия дислокационной структуры [93].

Если вся работа деформации а = аг_т превращается в тепло, то адиа­батный разогрев АТ = а1С_р, где теплоемкость единицы объема С'_р = Cp/Q. На один атом объем Q = Ь^г/у[2 (в решетке ГЦК), а теплоем­кость С_р = 3/с (к - константа Больцмана) и kT_nn ~ 0,03Gb². Модуль Е = 2(7(1+v)» 8G/3, и тогда А77Г_ПЛ » 20e_rui(aAE), т. е. при умеренных де­формациях (е™ ~ 0,1; а/Е ~ 10^_3) этот адиабатный разогрев - несколько градусов, но он может достигать 0,1 Т_ш и более при сильном ударном сжатии (Епл ~ 1; с/Е ~ 10“²).

Сопутствующее тепловое расширение е_т = аьДГ. Для всех металлов ocl*0,02/Г_пл (ч.1, с. 15), тогда бт/е_уп * 0,4б_пл (задача 39), и если после адиабатной пластической дефор­мации е_пл мгновенное укорочение от разгрузки е_уп, то укорочение по мере охлаждения составит от него долю 0,4е_Пл (При температурах ниже дебаевской 7Ъ теплоемкость Убывает как (Г/Го)³ и разогрев от деформации и последействие растут).

Для всех металлов образец толщиной d < 1 см, охлаждаемый воздухом, "теплотехнически тонкий” его температура практически однородна и охлаждение кон­тролируется коэффициентом теплоотдачи к воздуху сс~ 10 Вт/м К Тогда при выделении

мощности с плотностью <7 = ст£ предельный разогрев образца АТ - qd/2a = о ё dl2a. При "статическом растяжении" со скоростью 8 ~ Ю^с^-1 для высокопрочных материа­лов (ст~ 1 ГПа) при d~~ 1 см это да,ет АТ* 50 К, для большинства чистых металлов АТ< 10 К.

Шейка. Пластическая деформация всегда микронеоднородна. Уси­ление микронеоднородности может привести к потере устойчивости и макроскопической локалйзации течения. Приложение общих методов термодинамики необратимых процессов [109 , 1713] к развитию неод­нородности деформации (и соответствующей диссипативной структу­ры) затруднено из-за геометрических ограничений, заключенных в механизме скольжения и условиях совместности течения.

Самая грубая и неизбежная форма неустойчивости - шейка. Растя­жение образца постоянного сечения устойчиво (деформации однород­ны по его объему), пока случайные местные утонения останавливаются местным же упрочнением в тонком сечении. Иначе местное утонение усиливается - течение неустойчиво и локализуется в шейке. Критерий неустойчивости dP < 0 - растяжение может продолжаться без прироста силы Р. При площади сечения F и истинном напряжении s сила Р - sF, а ее приращение dР - sdF+Fds; и из условия неустойчивости dP < 0 следует s > (-Fds/dF). Образец длиной I сохраняет объем V - tF\ и из d V - 0 следует tdF - -Fdl, то есть dF/F - - dl/t - - d<p. Тогда из условия неустойчивости

ds/d<p<5 (1.6.1)

следует величина равномерной деформации ф_р до потери устойчивости (рис. 17).

Например, если диаграмму деформации аппроксимировать степен­ной: s - 5₀ф^п, то ф_р = п. Чем больше модуль упрочнения D = сЬМф, тем больше равномерная деформация ф_р, напряжение s_B = D в максимуме диаграммы сг(е) и "предел прочности" а_в = j_B(l+e_p). В частности, в од­нофазных неупорядоченных сплавах (DIE)< 1/300 (§1.5), и тогда верх­няя граница s_B < £/300.

Если диаграмма 5(ф) имеет два максимума, есть и два интервала не­устойчивости течения (AL и ВС на рис. 17, в): в точке А течение теряет устойчивость, но деформация в шейке доходит лишь до точки L, затем весь образец удлиняется до ф_ь перемещением "бегущей шейки", а после этого течет вновь однородно до точки В.

Для прогноза важно предсказать моду - форму потери устойчиво­сти. Разные моды - разные и критические напряжения. Так, при рас­тяжении ленты из изотропного материала равномерная деформация по 52

VO

i,r^f

Рис. 17. Точка В потери устойчивости течения на диаграммах деформации: а - в "машинных" координатах P{AL) и условных о(е ); б - в истинных координа­тах в(ф); в - две области неустойчивости (AL и ВС) на немонотонной диаграмме s(<p); г - карта неустойчивостей течения аустенитной стали (18%Сг, 8 %Ni,

2. % Мо) [112]: 1,2- образование полос сдвига; 3, 4 - динамическое деформа­ционное старение; 5 - двойникование; 6 - адиабатный срез (деформация, устой­чивая до 50 %, - в областях А, В, С)

ширине Ф22 и толщине ф₃₃ равны: ф₂2 = Фзз ⁼ - Фп/2 (из сохранения объ­ема фц+ф22+фзз ⁼ 0)- Потеря устойчивости - это местное утонение с1фзз при неизменной ширине, с изменением площади dF/F= dфзз = -ч!фц/2. То же условие dP = sdF+Fds приводит к сЬМф_п = s/2, т. е. по сравнению с прутком шейка в ленте образуется позднее, при вдвое большей рав­номерной деформации ф_р = 2п (задача 41) и "пределе прочности"

• = 2^п5_В (задача 42). Аналогично получается [94] для трубы под внут­ренним давлением ф_р = 2л/3, а для сферы ф_р = п/3 - критерий неустой­чивости меняется со схемой нагружения.

В ленте возможна единственная - "косая” ориентировка шейки: для совместности де­формаций (чтобы остальной объем не мешал местному сужению езз), шейка должна составлять с осью растяжения такой угол Ф, что в плоскости ленты удлинение вдоль Шейки е₂'2' = 0 (утонение не меняет ширину). В координатах образца тензор деформаций ^£ij имеет компоненты 822 = -ец/2. В координатах шейки 8г'2' = (X2'iCi2'j6ij, где (Хгч = cosO; ^а2'2 = sinO, и из условия ег'г' = 0 сохранения ее ширины (при любой толщине) получим 2cos²0 - sin²0 = 0, откуда

Ф = arctgV2 * 55°; (1.6.2)

Так ориентирована шейка в ленте любого изотропного материала. Совместность де­формаций настолько важна, что надрез под углом 90° к оси дает шейку поперек ленты лишь при глубине АН/Н>( 1 —>/зТ2 ) = 13% от толщины [95]. При диаграмме Р{€) с ми­нимумом (рис. 17, в) текучесть (в том числе и в поликристаллической ленте) локализует­ся в косых макроскопических полосах - полосах Людерса (§3.2).

В силовой критерий неустойчивости dP = 0 и условие совместности гп' - 0 для опре­деления моды шейки могут входить многие причины изменения сопротивления тече­нию лавинная генерация дислокаций (зуб текучести - §3.2); поворот систем скольжения (текстурное смягчение - §2.5), ускорение течения в шейке и ее разогрев (§3.2); несохране- ние объема с образованием и ростом пор (§6.10). Тогда производная dsld<р должна включать как собственно упрочнение материала dsfdqi, так и действие всех перечислен­ных факторов х\. ds/d<p = (ds/d^)_x+'^[(ds/dxi)(dxi/d^), отчего могут меняться критическая деформация <р_р и угол Ф [96], [97].

При сложной форме или неоднородном нагружении образцов кри­терий потери устойчивости находят, исследуя уравнения течения сплошной среды, как точку бифуркации (ветвления решения на устой­чивое и неустойчивое). Однако далее эволюцию поля напряжений и деформаций в шейке исследуют лишь численно - для каждой диаграм­мы j((p) в отдельности, обычно методом конечных элементов (МКЭ) [98].

Если разбить весь объем на многогранники (в плоской задаче - треугольники), то поле деформаций описано смещениями и вершин треугольников, а напряжений - силами Р, приложенными к их вершинам. Для треугольников, сходящихся в одну вершину, усло­вие равновесия ЕР = 0, а смещения общей вершины одинаковы (условие совместности). Задачу же о малых деформациях внутри малого треугольника можно решить для всех треугольников один раз, найдя линеаризованное соотношение между силами Р и удли­нениями ребер (U1-U2). Далее все сводится к решению системы линейных уравнений для Pi и Uj. Другое преимущество такого метода решения уравнения в частных производных: при триангуляции можно экономно задать мелкую разбивку там, где ожидаются боль­шие изменения, и грубую - где ничего не происходит. Обобщение МКЭ для бесконеч­ных объемов и разрывных граничных условий, воспроизводящее сингулярности, - ме­тод граничных элементов [99 , 100], где "элементарным кубиком" служит решение инте­грального уравнения для отрезка границы разрыва.

Рис. 18. Схема определения ориентировок неустойчивого течения ГЦК монокристалла.

а - ось растяжения I, вектор Бюргерса b и нормаль к плоскости скольже­ния п на единичной сфере, 6 - стереографический треугольник ADC и область ориентировок АЕС, где Х>п/4 и течение неустойчиво (дуги ВА=ВЕ)

Геометрическая неустойчивость монокристаллов. Монокристалл - материал сильно пластически анизотропный. Диаграмма одинарного скольжения Р(С) может быть ниспа­дающей (за счет поворота плоскости скольжения) от самого начала, несмотря на упроч­нение (§1.3).

При текучести без упрочнения приведенное касательное напряжение т = F_za = const. Тогда диаграмма растяжения P(t) падающая (da/de < 0), если с удлинением е растет фактор Шмида F_z = cosXsinx, т. е. dF_z/de > 0. Но угол Х(е) между осью растяжения 1 и вектором Бюргерса b всегда монотонно убывает, поэтому условие неустойчивости dF_zld\ < 0. Соединив три полюса: Ь,1 и нормаль к плоскости скольжения п дугами боль­шого круга (рис. 18, а), из теоремы косинусов для сферического треугольника cosc = = [cosa cosZ>+sina sinb cosC] (А, В, С - углы; a, b, с - противолежащие дуги) получим sinx = sinX cosO, где Ф - угол между дугой Ь,1 (по которой "падает на Ь" ось растяжения) и дугрй Ь,п. Фактор Шмида F_s = (sin2X cosO)/2. При одинарном скольжении Ф = const, и тогда dF_s/dX = cos2X cosO обращается в нуль при X = л/4. Область неустойчивого тече­ния Х>7г/4 (рис. 18, б) составляет долю (2 - Зтг²/16) от площади стереографического треугольника (задача 40), т. е. для 15 % ориентировок ГЦК монокристаллы текут неус­тойчиво от самого начала.

Они восстановят однородность течения с упрочнением при некотором dt/dy > 0. В точке потери устойчивости da/de = 0 будет и da/dy = 0 (поскольку е(у) монотонно). То­гда, подставив ст = т/F_e, получим отсюда условие устойчивости (1/т) (dx/dy) > > (l/Fg)(dF_e/dy), а выписав из (1.3.6) у(Х,Ф), найдем (1 /F_z) (dF_s/dy) = - tgX cos2X совФ, что в области неустойчивости течения (при я/4<Х<я/3 и 0<Ф<л/2) не может превышать ■JT/2- Следовательно, течение устойчиво при любой ориентировке, если безразмерный модуль упрочнения 0 > (ТзТг) (t/G). Но поскольку для легкого скольжения xJG~ 10^-4 и 0i ~ юЛ у монокристаллов "неустойчивых" ориентировок спад диаграммы Р(£) может появлять­ся и пропадать от небольших изменений предела текучести т₈.

На II стадии деформации монокристалла модуль упрочнения 0'ц = const * 1/300, и то­гда в j ~ <р^п показатель п «1 и равномерная деформация <р_р ~ s_b ID'и ~ 1. Действительно, в монокристаллах аустенитной стали (1,1 %С и 13%Мп) с низкой энергией дефектов упаковки достигнуто [101] <р_р = 0,92 и "предел прочности" sJE = 1/140.

Даже при симметричной ориентировке оси растяжения в шейке монокристалла вы­деляются избранные системы, где скольжение сужает образец в клин (а не в точку). При этом могут последовательно включаться две моды неустойчивости: сначала "длинноволновая" (зона шейки порядка толщины кристалла), а затем "коротковолновая" (срез в узкой полосе). При скольжении только в двух системах шейка хорошо предсказывается численно (МКЭ) в зависимости от скрытого упрочнения (§1.5) [34].

Полосы сдвига. Когда внешние формы жестко заданы (при прокатке, волочении, плющении), неустойчивости проявляются как полосы сдви­га, где деформация много больше средней. Плоскостность и ориенти­ровка полос следуют подобно (2) из условия совместности течения, а критерий их появления - "физическое” либо "геометрическое" (от по­воротов) смягчение полосы. На IV стадии диаграммы (при слабом уп­рочнении) существенная часть всей деформации - в одинаково ориен­тированных микроскопических полосах сдвига (толщиной 0,1... 1 мкм, со сдвигом до у = 10 в полосе при общей деформации <р > 1) [102].

Их взаимодействия создают макрополосы, рассекающие лист, но столь же тонкие. При прокатке такие полосы идут вдоль поперечной оси листа Т наклонно к его поверхности (нормаль к полосе п, к листу N

и к направлению прокатки L - в одной плоскости). Повороту п в плос­кости листа T,L мешают условия совместности, а в N,T - ограничение уширения листа. В момент образования угол наклона задан так, что нет удлинения вдоль полосы [103], но при дальнейшей общей деформа­ции полоса, как и всякая "метка", вращается. Макрополосы сдвига, рассекающие лист под углом 35° к поверхности, появляются при про­катке Al, Ni, Си, Аи, Ag при одинаковом напряжении xlG = 71(И (но вдвое большем - в твердом растворе Си - А1 с низкой энергией дефекта упаковки) [104].

Флуктуации деформации. Макроскопическая потеря устойчивости наступает как ре­зультат роста масштабов флуктуаций пластического течения. В общей теории флуктуа­ций (не обязательно тепловых), если некоторая характеристика состояния в точке г отклоняется от своего среднего (по объему V) значения на величину с(г) и между возму­щениями в разных точках есть взаимодействие, соответствующее изменение свободной энергии F в объеме V зависит не только от плотности свободной энергии /(с), но также и от производных с по координатам. Разложение в ряд дает простейшее выражение (Орнштейн и Цернике, 1914 г.)

F= | \f (c)+P(c)|V c|²/2]d V.

V

Здесь членов с Vc нет, так как они векторные, a F - скаляр, член с V²c выражен тоже через |V(c)|² по соотношению

J vy(c)V²c dK= J У[у(с)УфК- J V[\j/(c)]Vc]dV* J [(dy/dc)Vc]Vc dV =

V V V V

= j* (dy/dc)|Vc|²d V (после интегрирования по частям первый из интегралов преобразо- v

ван по теореме Гаусса J* V[v|/(c)Vc]d V - J i|/(c)Vc dS в интеграл по поверхности S, а v s

вкладом поверхности в энергию больших объемов можно пренебречь).

Если и плотность свободной энергии разложить в ряд/(с) = /(0)+f{0)c+f'(0)c²/2, то

при усреднении по объему J c/{0)d V = 0, и вклад флуктуации в свободную энергию

V

F- (1/2) J* [cy'{0)+|3|Vc|²]d К Представив поле возмущений трехмерным рядом Фурье v

c(r) = (1 IN) IkCke^lkr в виде N плоских волн с амплитудами <?к (где к - 2п/Х и к - длина

волны), запишем J* c²(r)d V = IkCk² (теорема Парсеваля). Дифференцирование по г дает v

Ve^ = ike*¹, и тогда L_r[Vc(r)]² = (l/jV)E_k|ck|² ("перекрестные" члены произведения с раз­ными к выпали в силу ортогональности гармоник). Опуская нормировки, запишем отсюда F - Lktr+P^lkkl² = £kW|c_k|², где A(k) =f"+$k².

Пока A(k) неотрицательные, можно ввести такую переменную ак, что £(к)|ск|² = |ак|², и записать свободную энергию как F=Ekak². Если у некоторой случайной величины сумма квадратов сохраняется постоянной, то из всех возможных ее распределений р{аъ) наибольшую энтропию имеет нормальное (гауссово) [105]

56 р(а_к) = [l/s^/^тО J exp(-a_kW),

где дисперсия 5² = <Лк²>. Максимум этого распределения при я_к = 0. Тогда наиболее вероятны волны при Ь(к) = 0, т. е к² = ~/7|3. Преобладающая длина волны флуктуаций

Х = 2п\Ш"\^Ш-

В приложении к флуктуациям пластического течения с = 6 - отклонение пластиче­ской деформации от среднего значения, а (-6) - соответствующее возмущение упругой деформации в этой точке. Если D = dcr/d6 - модуль упрочнения, то работа пластической деформации на единицу объема / = сг6+£>6²/2, так что /^,/s = d²//d6² = D. Постоянная р описывает дальнодействие - снижение плотности энергии всего объема (от упругой разгрузки) после стесненной деформации 6 в точке г. Поэтому (3 < 0 и выражается через модуль упругости Е и некоторую константу длины t в виде |р|~ Ei², чтобы получить для F размерность плотности энергии. Тогда ~ DIEt² или kl£ ~ 0~^1/2 - чем меньше без­размерный модуль упрочнения 0 = D/Е, тем больше длина волны и безразмерный радиус корреляции флуктуаций деформации р ~ к [106]. Как и во всех системах [107], с прибли­жением к критической точке 0-»О радиус корреляции флуктуаций неограниченно нарас­тает.

Шейка возникает из пространственных флуктуаций деформации, ко­гда их радиус р достигнет толщины образца (до того волны лишь бегут по образцу). По измерениям полей деформации при растяжении плос­кого образца алюминия [108] в интервале 0 = ¹/₄5о...¹/юоо радиус корре­ляции рос от р₀~2 мм до 12 мм по закону р₀ = q! >/(Г - одинаковому для разных температур испытания и при сохранении подобия <6²>/р₀² = const. Макроскопические флуктуации деформаций нараста­ют по мере того, как падает модуль упрочнения. Для компонент бу тен­зора деформации корреляция наибольшая вдоль оси растяжения i (и с отклонением от нее на угол у убывает как cos²v|/).

Диссипативные структуры. Появление устойчиво неоднородной в движении ячеи­стой структуры - динамическая самоорганизация [109]. В отличие от полигонизации "в статике" фрагментация происходит в открытой системе с накачкой энергии извне: упо­рядочивает дислокации работа внешних сил. При достаточной мощности потерь на трение (мощности диссипации) происходит кинетический фазовый переход от одного устойчивого состояния движения к другому, тоже устойчивому (как от ламинарного течения к турбулентному при превышении критической скорости течения вязкой жидко­сти). Для кинетического перехода нужно два условия: достаточно большое отклонение

от равновесия и нелинейная зависимость потока Xj от силы Xj Нелинейная термоди­намика неравновесных процессов [109] предсказывает условие перехода ("число Рей­нольдса") и закритическое поведение ("размер вихря").

Вид системы нелинейных дифференциальных уравнений указывает один из четырех типов закритического поведения: а) стационарная неоднородная диссипативная струк­тура (периодичность в пространстве); б) автоколебания (периодичность во времени), ^в) автоволновой процесс (периодичность во времени и в пространстве) и г) триггер (переброс в другое однородное состояние). В конце I стадии диаграммы деформации происходит кинетический фазовый переход типа (а): образуется неподвижная волна плотности дислокаций p(z) по нормали к плоскости скольжения.

Причиной могут быть три сильные нелинейности: скорость дислокаций v~(t- ~ Ч)^п(ц>1) (§5.1), их аннигиляция р*~ р² и внутренние напряжения ~ р^1/2. В нелинейной термодинамике исследованы только два случая, когда скорость изменения параметра состояния X линейно связана с его градиентом V* или же с V²* ("диффузия”) [109]. Но напряжение ti в каждой точке создано полем дислокаций на всей плоскости, то есть задано нелинейным интегральным уравнением Подмена его дифференциальным в модели, где совместно текут два слоя с плотностью дислокаций pi и рг, задающей на­пряжения ti внутри слоя, правильно указывает критическую точку р_кр ~ 10⁸...10⁹ см'², далее которой pi > рг и в слое с pi нет течения, но не определяет период слоев (поскольку не задано взаимодействие их полей) [110]. Для его учета вводили "диффузию". ЭрIdt - Hcfpldz² - приток дислокаций ЭрIdt из смежных объемов с иной их плотностью [111], но в полученной системе нелинейных уравнений 6 констант, которые можно лишь грубо оценить. Для задач о диссипативных структурах пластической деформации есть описания, но пока нет решений.

Неустойчивости и локализация в микро- и макромасштабах - неиз­бежная составная часть больших (а иногда и малых) пластических де­формаций. Например, карта неустойчивостей течения аустенитной стали (18 % Сг, 8 % Ni, 2 % Мо) при 20...1250°С и скоростях деформа­ции 0,001... 100 с^-1 содержит шесть зон неустойчивости (рис. 17, г): от образования полос сдвига, адиабатного среза (§3.2), динамического деформационного старения (§5.2) и двойникования (§1.7), и лишь три области допускают однородную деформацию на 50 % - холодную А, "теплую" В и горячую С [112]. Ограничивая равномерную деформа­цию, неустойчивости ведут к разрушению при обработке давлением.