Точка приложения силы тяжести

Для определения точки приложения силы тяжести (равнодей­ствующей параллельных сил) используем теорему Вариньона о мо­менте равнодействующей:

Момент равнодействующей относительно оси равен алгебра­ической сумме моментов сил системы относительно этой оси.

Изображаем тело, составленное из некоторых частей, в про­странственной системе координат (рис. 8.2).

Тело состоит из частей, силы тяжести которых q_k приложены в центрах тяжести (ЦТ) этих частей.

Пусть равнодействующая (сила тяжести всего тела) приложена в неизвестном пока центре С.

x_{C ,} y_C и z_C — координаты центра тяжести С.

x_k , y_k и z_k — координаты центров тяжести частей тела.

Из теоремы Вариота следует:

; ;

; ;

Аналогично для оси О_z:

; .

В однородном теле сила тяжести пропорциональна объему V: G = γV; где γ – вес единицы объема. Следовательно, в формулах для однородных тел: ; ; , где Vk – объем элемента тела; V – объем всего тела.

Рис.

Центр тяжести однородных плоских тел (плоских фигур)

Очень часто приходится определять центр тяжести различных плоских тел и геометрических плоских фигур сложной формы. Для плоских тел можно записать: V = Ah, где А — площадь фигуры, h — ее высота.

Тогда после подстановки в записанные выше формулы получим:

; ; ,

где А_к — площадь части сечения; х_к, у_к — координаты ЦТ частей сечения.

Выражение называют статическим моментом площади (S_y.).

Координаты центра тяжести сечения можно выразить через статический момент:

; ; ; .

Оси, проходящие через центр тяжести, называются центральны­ми осями. Статический момент относительно центральной оси равен нулю.

Определение координат центра тяжести плоских фигур

Примечание. Центр тяжести симметричной фигуры находится на оси симметрии.

Центр тяжести стержня находится на середине высоты. Поло­жения центров тяжести простых геометрических фигур могут быть рассчитаны по известным формулам (рис. 8.3: а) — круг; б) — ква­драт, прямоугольник; в) — треугольник; г) — полукруг).

Рис.

При решении задач используются следующие методы:

1. метод симметрии: центр тяжести симметричных фигур находится на оси симметрии;

2. метод разделения: сложные сечения разделяем на несколько простых частей, положение центров тяжести которых легко определить;

3. метод отрицательных площадей: полости (отверстия) рассма­триваются как часть сечения с отрицательной площадью.

Контрольные вопросы и задания

1. Почему силы притяжения к Земле, действующие на точки тела, можно принять за систему параллельных сил?

2. Запишите формулы для определения положения центра тяжести неоднородных и однородных тел, формулы для определения положения центра тяжести плоских сечений.

3. Повторите формулы для определения положения центра тяжести простых геометрических фигур: прямоугольника, треугольника, трапеции и половины круга.

4. Что называют статическим моментом площади?

5. Вычислите статический момент данной фигуры относительно оси Ox. h = 30см; b = 120см; с = 10см (рис. 8.6).

Рис.

Рис.

6. Определите координаты центра тяжести заштрихованной фигуры (рис. 8.7). Размеры даны в мм.

7. Определите координату у фигуры 1 составного сечения рис. 8.8).

При решении воспользоваться справочными данными таблиц ГОСТ «Сталь горячекатаная» (см. Приложение 1).

Рис.