Тема 2.5. Кручение. Напряжения и деформации при кручении

Иметь представление о напряжении и деформациях при кручении, о моменте сопротивления при кручении.

Знать формулы для расчета напряжений в точке поперечного сечения, закон Гука при кручении.

Напряжения при кручении

Проводим на поверхности бру­са сетку из продольных и поперечных линий и рассмотрим рисунок, образовавшийся на поверхности после деформации (рис. 27.1а). Поперечные окружности, оставаясь плоскими, поворачиваются на угол s. продольные линии искривляются, прямоугольники превращаются в параллелограммы. Рассмотрим элемент бруса 1234 после деформации.

Рис.

Рис.

При выводе формулы используем закон Гука при сдвиге и гипотезу плоских сечений и неискривления радиусов поперечных сечений.

При кручении возникает напряженное состояние, называемое чистый сдвиг (рис. 27.16).

При сдвиге на боковой поверхности элемента 1234 возникает касательные напряжения, равные по величине (рис. 27.1в), элемент деформируется (рис. 27.1г).

Материал подчиняется закону Гука. Касательное напряжение пропорционально углу сдвига.

Закон Гука при сдвиге τ = Gγ,

G — модуль упругости при сдвиге, Н/мм²; γ — угол сдвига, рад.

Напряжение в любой точке поперечного сечения

Рис.	Рассмотрим поперечное сечение круглого бруса. Под действием внешнего момента в каждой точке поперечного сечения возникают силы упругости dQ (рис. 27.2). dQ = τdA, где τ — касательное напряжение; dA — элемен­тарная площадка. В силу симметрии сечения силы dQ образуют пары.

Элементарный момент силы dQ относительно центра круга

dm = pdQ,

где р — расстояние от точки до центра круга.

Суммарный момент сил упругости получаем сложением (интегрированием) элементарных моментов:

.

После преобразования получим формулу для определения напря­жений в точке поперечного сечения:

, где .

При ρ = 0 τ_к = 0; касательное напряжение при кручении пропорционально расстоянию от точки до центра сечения. Полученный интеграл J_p называется полярным моментом инерции сечения. J_р является геометрической характеристикой сечения при кручении. Она характеризует сопротивление сечения скручиванию.

Анализ полученной формулы для J_р показывает, что слои, рас­положенные дальше от центра, испытывают большие напряжения.

Эпюра распределения касательных напряжений при кручении (рис. 27.3)

Мк — крутящий момент в сечении; ρВ — расстояние от точки В до центра; τВ — напряжение в точке В; — максимальное напря­жение.

Рис.

Максимальные напряжения при кручении

Из формулы для определения напряжений и эпюры распределе­ния касательных напряжений при кручении видно, что максималь­ные напряжения возникают на поверхности.

Определим максимальное напряжение, учитывая, что , где d — диаметр бруса круглого сечения.

Для круглого сечения полярный момент инерции рассчитывается по формуле.

.

Максимальное напряжение возникает на поверхности, поэтому имеем

.

Обычно Jp / ρ_max обозначают W_p и называют моментом сопро­тивления при кручении, или полярным моментом сопротивления сечения

.

Таким образом, для расчета максимального напряжения на поверхности круглого бруса получаем формулу

.

Для круглого сечения ; .

Для кольцевого сечения , где .

Условие прочности при кручении

Разрушение бруса при кручении происходит с поверхности, при расчете на прочность используют условие прочности

,

где [т_к] — допускаемое напряжение кручения.