Моменты инерции простейших сечений

Осевые моменты инерции прямоугольника (рис. 25.2)

Представим прямоугольник высотой h и шириной b в виде сечения, составленного из бесконеч­но тонких полос. Запишем площадь такой полосы: bdy=dA. Подставим в формулу осевого момента инерции относительно оси Ох:

Рис.	; ; получим: . По аналогии, если разбить прямоугольник на вертикальные полосы, рассчитать площади полос и подставить в формулу для осе­вого момента инерции относительно оси Оу, получим: .

Очевидно, что при h > b сопротивление повороту относительно оси Ох больше, чем относительно Оу.

Для квадрата: h = b; .

Полярный момент инерции круга Для круга вначале вычисляют поляр­ный момент инерции, затем - осевые. Представим круг в виде совокупности бесконечно тонких колец (рис. 25.3). Площадь каждого кольца можно рас­считать как площадь прямоугольника с длинной стороной, равной длине соответ­ствующей окружности, и высотой, равной толщине кольца: dA = 2πpdp. Подставим это выражение для площа­ди в формулу для полярного момента инер­ции:

Рис.

; .

Получим формулу для расчета полярного момента инерции круга:

.

Подобным же образом можно получить формулу для расчета полярного момента инерции кольца:

,

где d - наружный диаметр кольца; d_BH - внутренний диаметр ко­льца.

Если обозначить d_BH / d = с, то

.

Осевые моменты инерции круга и кольца

Используя известную связь между осевыми и полярным момен­тами инерции, получим:

; ;

(круг); (кольцо).

Моменты инерции относительно параллельных осей

Оси Охо и Ох параллельны (рис. 25.4).

Рис.	При параллельном переносе прямоугольной системы осей уоОхо в новое положение уоОх зна­чения моментов инерции JX, Jy, Jxy заданно­го сечения меняются. Задается формула переход без вывода. Jx = Jxo + Aa2, Здесь Jx – момент инерции относительно оси Ох; Jxo – момент инерции относительно оси Охо;

А — площадь сечения;

а — расстояние между осями О_х и Ox_о.

Главные оси и главные моменты инерции

Главные оси это оси, относительно которых осевые момен­ты инерции принимают экстремальные значения: минимальный ж максимальный.

Главные центральные моменты инерции рассчитываются отно­сительно главных осей, проходящих через центр тяжести.

Контрольные вопросы и задания

1. Диаметр сплошного вала увеличили в 2 раза. Во сколько раз увеличатся осевые моменты инерции? ( .)

2. Осевые моменты сечения равны соответственно J_x = 2,5 мм⁴ и J_y = 6,5 мм. Определите полярный момент сечения.

3. Осевой момент инерции кольца относительно оси Ох J_x = 4 см⁴. Определите величину J_р.

4. В каком случае J_x наименьшее (рис. 25.7)?

Рис.

5. Какая из приведенных формул для определения J_x подойдет для сечения, изображенного на рис. 25.8?

Рис.	Варианты ответа: 1. ; 2. ; 3. ; 4. .

6. момент инерции швеллера № 10 относительно главной центральной оси J_xо = 174 см⁴; площадь поперечного сечения 10,9 см².

Определите осевой момент инерции относительно оси, проходящей через основание швеллера (рис. 25.9).

7. Сравнить полярные моменты инерции двух сечений, имеющих практически одинаковые площади (рис. 25.10).

8. Сравнить осевые моменты инерции относительно оси Ох прямоугольника и квадрата, имеющих одинаковые площади (рис. 25.11).

Рис.

Рис.

Рис.