Закон Гука

В пределах упругих деформаций деформации прямо пропорциональны нагрузке:

F = kΔl,

где F — действующая нагрузка; k — коэффициент.

В современной форме:

; .

Получим зависимость σ=Eε, где Е — модуль упругости, ха­рактеризует жесткость материала.

В пределах упругости нормальные напряжения пропорциональ­ны относительному удлинению.

Значение Е для сталей в пределах (2÷2,l) • 10⁵ МПа.

При прочих равных условиях, чем жестче материал, тем меньше он деформируется:

.

Формулы для расчета перемещений поперечных сечений бруса при растяжении и сжатии

Используем известные формулы.

Закон Гука σ=Eε.

Откуда .

Относительное удлинение .

В результате получим зависимость между нагрузкой, размера­ми бруса и возникающей деформацией:

; ;

или ,

где Δl — абсолютное удлинение, мм;

σ - нормальное напряжение, МПа;

/ — начальная длина, мм;

Е — модуль упругости материала, МПа;

N — продольная сила, Н;

А — площадь поперечного сечения, мм²;

Произведение АЕ называют жесткостью сечения.

Выводы

1. Абсолютное удлинение бруса прямо пропорционально вели­ чине продольной силы в сечении, длине бруса и обратно пропорционально площади поперечного сечения и модулю упругости.

2. Связь между продольной и поперечной деформациями завис от свойств материала, связь определяется коэффициентом Пуассона, называемом коэффициентом поперечной деформации.

Коэффициент Пуассона: у стали μ от 0,25 до 0,3; у пробки μ = 0: у резины μ = 0,5.

3. Поперечные деформации меньше продольных и редко влияют на работоспособность детали; при необходимости поперечная дефор­мация рассчитывается через продольную.

; ; откуда Δа = ε'а₀ ,

где Δа — поперечное сужение, мм; а_о — начальный поперечный размер, мм.

4. Закон Гука выполняется в зоне упругих деформаций, которая определяется при испытаниях на растяжение по диаграмме растя­жения (рис. 21.2).

Рис.

При работе пластические де­формации не должны возникать, упругие деформации малы по сравнению с геометрическими размерами тела. Основные расче­ты в сопротивлении материалов проводятся в зоне упругих дефор­маций, где действует закон Гука. На диаграмме (рис. 21.2) закон Гука действует от точки 0 до точки 1.

5. Определение деформации бруса под нагрузкой и сравнение ее с допускаемой (не нарушающей работоспособности бруса) называют расчетом на жесткость.

Примеры решения задач

Дана схема нагружения и размеры бруса до деформации (рис. 21.3). Брус защемлен, определить перемещение свободного конца.

Решепие

1. Брус ступенчатый, поэтому следует построить эпюры продольных сил и нормальных спряжений.

Делим брус на участки на­гружения, определяем продоль­ные силы, строим эпюру про­дольных сил.

2. Определяем величины нормальных напряжений по се­чениям с учетом изменений пло­щади поперечного сечения.

Строим эпюру нормальных напряжений.

3. На каждом участке опре­деляем абсолютное удлинение. Результаты алгебраически сум­мируем.

Примечание. Балка защемлена, в заделке возникает неизвестная реакция в опоре, поэтому расчет начинаем со сво­бодного конца (справа).

1. Два участка нагружения:

участок 1: N₁ = + 25 кН; растянут;

участок 2: 25 – 60 + N₂ = 0; N₂ = - 35 кН; сжат.

2. Три участка по напряжениям:

; ;

; ; ; 3. Удлинения участка (материал – сталь Е = 2 · 105 МПа): ; ; ; ; ; . 4. Суммарное удлинение бруса (перемещение свободного конца). Δl = Δl2 + Δl3 ; Δl =0,125 + 0,05 – 0,07 = 0,105 мм.

Рис.