2.3.2. Вычисление корней многочленов второй и третьей степени

1. Уравнения второй степени (квадратные)

Для общего уравнения корни определяются по формуле:

.

Для приведенного уравнения корни определяются по формуле:

.

(Формулы верны при любых коэффициентах, действительных или комплексных.)

2. Уравнения третьей степени (кубические)

Уравнение заменой сводится к уравнению

, где

.

Корни этого уравнения находятся по формуле Кардано:

,

при этом, беря последовательно по одному из трех значений кубического корня

,

следует из трех возможных значений корня

выбрать то, для которого .

2.4. Упражнения

1. Найти коэффициент при x¹⁷ многочлена

Ответ: 100.

2. Задан многочлен , а . Найти многочлены q(x) и r(x) такие, что и .

Ответ: и .

3. Разделить многочлен на многочлен .

Ответ: .

4. Некоторый многочлен при делении на двучлен дает в остатке 2, а при делении на двучлен дает в остатке –10. Найти остаток от деления этого многочлена на (3х–2)(х+2).

Ответ: .

5. При каких a и многочлен делится на ?

Ответ: n – любое натуральное число, большее 2; .

2.5. Контрольные задания

1. Определить наибольший общий делитель многочленов f(x) и g(x) и представить его в виде f(x)u(x)+g(x)v(x)=d(x), где d(x) – наибольший общий делитель f(x) и g(x):

1. , ;

2. , ;

3. ,  ;

4. , ;

5. ,  ;

6. ,  ;

7. ,  ;

8. , ;

9. , ;

10. , ;

11. , .

12. , ;

13. , ;

14. , ;

15. , ;

16. , ;

17. , ;

18. , ;

19. , ;

20. , ;

21. , .

22. , ;

23. , ;

24. , ;

25. , ;

26. , ;

27. , ;

28. , ;

29. , ;

30. , .

2. Пользуясь схемой Горнера выполните деление с остатком:

1. на ;

2. на ;

3. на ;

4. на ;

5. на ;

6. на ;

7. на ;

8. на ;

9. на ;

10. на ;

11. на ;

12. на ;

13. на ;

14. на ;

15. на ;

16. на ;

17. на ;

18. на ;

19. на ;

20. на ;

21. на ;

22. на ;

23. на ;

24. на ;

25. на ;

26. на ;

27. на ;

28. на ;

29. на ;

30. на .

2.6. Вопросы для самопроверки

1. Что такое многочлен n- ой степени?

2. Какие многочлены называются равными?

3. Как найти сумму двух многочленов?

4. Свойства операции сложения многочленов.

5. Как найти произведение двух многочленов?

6. Свойства операции умножения многочленов.

7. Как разделить многочлен на многочлен?

8. Деление многочлена с остатком.

9. Как разделить многочлен на многочлен с помощью схемы Горнера?

10. Теорема Безу и е следствия.

11. Как найти частное и остаток от деления с помощью правила деления «уголком»?

12. Корни многочленов второй и третьей степени.

13. Как разложить многочлен степени n на множители?

2.7. Вопросы для теоретического опроса

1. Многочлены. Равенство многочленов.

2. Действия над многочленами.

3. Делимость многочленов, некоторые свойства. Наибольший общий делитель многочленов.

4. Деление многочленов без остатка.

5. Деление многочленов с остатком.

6. Схема Горнера.

7. Корни многочлена. Разложение многочлена степени n на множители.

8. Вычисление корней многочленов второй и третьей степени.

3. Линейные (векторные) пространства

3.1. Понятие вектора

Определение. Величины, для задания которых указывают лишь их числовое значение, будем называть скалярными величинами или скалярами.

Наряду со скалярами, имеются объекты, для полной характеристики которых нужно знать не только численное значение. Например, для характеристики перемещения точки нужно знать не только длину пройденного пути, пройденного точкой, но и направление ее движения. Такие величины, как перемещение, сила, скорость, ускорение и т.д., требующие для своего задания не только указание своего численного значения, но и направления в пространстве, назовем векторными величинами или векторами, наглядно их изображая с помощью направленных прямолинейных отрезков.

Определение. Вектором на плоскости или в пространстве называют направленный отрезок.

Определение. Длиной или модулем вектора называется длина соответствующего ему отрезка и обозначают или .

Определение. Векторы, параллельные как отрезки, называются коллинеарными.

Для коллинеарных векторов и используется обозначение . Такие векторы могут быть одинаково направленными или противоположно направленными .

Определение. Два коллинеарных вектора и называются равными, если эти векторы имеют одинаковые длины и совпадающие направления:

.

Определение. Вектор, начало которого совпадает с его концом, называется нулевым вектором.

Все координаты нулевого вектора равны нулю и при этом нулевой вектор не имеет длины и направления. Нуль-вектор обозначается через .

Определение. Векторы , и в пространстве называются компланарными, если они параллельны некоторой плоскости в пространстве (или при откладывании этих векторов из общего начала они оказываются лежащими в одной плоскости).

Определение. Противоположным для вектора называется вектор , имеющий ту же длину, что и вектор , коллинеарный вектору и направленный с ним противоположно .

Определение. Единичным вектором (ортом) вектора называется такой вектор, который имеет то же направление, что и , и единичную длину. Единичный вектор обозначается через .