Возведение в степень матриц.
Возведение квадратной матрицы Аm в целую положительную степень m (m>1) называется произведение m матриц, равных А:
Операция возведения в степень определена только для квадратных матриц.
Свойства операции возведения в степень:
А0 = Е.
А1 = А.
Аm´Аk= Аm+k.
(Аm)k= Аmk.
Определение.
Если
задан многочлен n–й
степени (
)
относительно x
,
то матричным многочленом f(A) называется выражение вида
,
где
A
– квадратная матрица n-го
порядка и E
– единичная матрица того же
порядка.
Значением
матричного многочлена
при заданной матрице A
является матрица
порядка n.
Пример. Найти значение матричного многочлена f(A), если
и
.
Решение.
.
Транспонирование матриц.
Определение. Транспонированием матрицы А называется такое преобразование матрицы, при котором строки матрицы А заменяются на ее столбцы с сохранением их порядка и обозначается АТ (или А').
Матрица АТ, транспонированная по отношению к матрице А, имеет вид:
Свойства операции транспонирования:
(АТ)Т=A.
(lA)Т = lAТ.
(A+В)Т = AТ +ВТ.
(A´В)Т = ВТ ´ AТ.
Доказательство.
Так как по условию произведение матриц
AВ
существует, то матрицы имеют следующие
размеры:
,
и
,
.
Ясно, что транспонированные матрицы
имеют размеры:
,
.
Следовательно, существует матрица
.
Таким образом, размерности матриц
и
совпадают.
Обозначим
элементы матрицы А
через
(для
),
элементы матрицы В
через
(для
).
Тогда
,
т.е.
,
где
и
.
Следовательно,
.
■
Определение.
Квадратная
матрица, которая не меняется при
транспонировании AТ=А,
называется симметричной.
Например,
матрица
.
Определение. Элемент строки матрицы А называется крайним, если он не равен нулю, а все элементы этой строки, находящиеся левее него равны нулю.
Определение. Матрица A называется ступенчатой, если крайний элемент каждой строки этой матрицы находится правее крайнего элемента предыдущей строки, т.е.:
.
Пример:
не ступенчатая ступенчатая
Элементарными преобразованиями матрицы называются следующие преобразования:
изменение порядка строк или столбцов матрицы;
умножение всех элементов строки (или столбца) матрицы на число, отличное от нуля;
прибавление ко всем элементам одной строки (или столбца) матрицы соответствующих элементов одной строки (или столбца), умноженные на одно и то же число;
транспонирование матрицы;
вычеркивание (удаление) нулевых строк (столбцов);
вычеркивание (удаление) одной из одинаковых строк (столбцов).
Определение. Матрицы А и В называются эквивалентными, если одна из них получается из другой с помощью элементарных преобразований (обозначается А~В).
Пример. Привести к ступенчатому виду матрицу
Решение.
Сделаем нулевыми все элементы матрицы под крайним элементом первой строки, для этого умножим первую строку на число (-3) и сложим ее со второй, и умножим первую строку на число (5) и сложим ее с третьей:
~
~ ~
Теперь сделаем нулевыми все элементы матрицы под крайним элементом второй строки:
~
.
Определение. Матричными уравнениями называются уравнения вида
и
,
где
А и В – заданные матрицы, X и Y – искомые матрицы.