8.5. Решение систем m линейных уравнений c n неизвестными

8.5.1. Решение систем линейных уравнений методом Гаусса (метод последовательного исключения неизвестных)

Рассмотрим метод Гаусса, который является более общим методом решения системы линейных уравнений как квадратных, так и произвольной размерности.

Суть этого метода состоит в том, что посредством последовательных исключений неизвестных с помощью элементарных преобразований данная система превращается в ступенчатую (в частности, треугольную) систему, равносильную данной. Далее по полученной матрице выписывают новую систему и решают ее методом исключения неизвестных: начиная с последних по номеру переменных, находят все остальные. Более подробное рассмотрение алгоритма, реализующего метод Гаусса, проведено в разделе 11 данного пособия.

Определение. Переход системы к ступенчатому виду называется прямым ходом метода Гаусса, а нахождение неизвестных из этой системы – обратным ходом.

Если система m линейных уравнений c n неизвестными оказалась совместной, т.е. , то могут представиться две возможности:

1. Если r=n, то имеем n уравнений с n неизвестными, причем определитель ∆ этой системы отличен от нуля. С помощью элементарных преобразований СЛУ приводится к треугольному виду. Таким образом, после выполнения «прямого хода» получаем систему уравнений вида:

.

Такая система имеет единственное решение. Поднимаясь снизу вверх («обратный ход»), последовательно находим:

из последнего n-го уравнения неизвестное ;

из (n-1)-го уравнения неизвестное , подставляя это уравнение уже найденное неизвестное ;

и т.д. до первого уравнения, из которого при подстановке в него уже найденных неизвестных , ,…, находим .

При практическом решении системы линейных уравнений методом Гаусса удобнее приводить к ступенчатому виду не саму систему уравнений, а расширенную матрицу этой системы.

Применяя матричную форму записи, запишем расширенную матрицу и преобразуем ее на следующем примере:

.

Расширенная матрица свелась к матрице ступенчатого вида. Соответствующая ей система имеет вид:

Используя «обратный ход» метода Гаусса, найдем из третьего уравнения , из второго и из первого .

2. Если r<n, то число независимых уравнений меньше числа неизвестных. В этом случае объявляем неизвестные х_r+1 ,…х_n свободными и переносим их в правые части уравнений, оставляя в левых частях слагаемые, содержащие базисные переменные х₁,…х_r:

Эту систему решаем относительно неизвестных x₁, x₂,..., x_r. Придавая свободным неизвестным произвольные числовые значения, получим соответствующие числовые значения для x₁, x₂,..., x_r.

Таким образом, при r < n система имеет бесконечное множество решений.

8.5.2. Решение систем линейных уравнений методом замещения

Рассмотрим систему m линейных уравнений с n неизвестными:

.

Метод замещения основан на методе Гаусса. Данный метод решения систем линейных уравнений состоит в преобразовании расширенной матрицы системы к виду, при котором r переменных (r = rang ) образуют диагональную (в частности, единичную) матрицу, что позволяет сразу, без дополнительных преобразований получить решение системы.

На каждом шаге решения выбирается направляющий элемент а_rs ¹0 (любой элемент матрицы коэффициентов А, отличный от нуля), r –я строка называется направляющей строкой, а s–й столбец – направляющим столбцом. Элементы направляющей строки делятся на направляющий элемент, а элементы других строк заменяются на новые по правилу прямоугольника:

,

где – определяемый элемент;

– заменяемый элемент;

– элементы, стоящие в оставшихся углах прямоугольника:

– элемент направляющего столбца, стоящий в одной строке с заменяемым элементом ;

– элемент направляющей строки, стоящий в одном столбце с заменяемым элементом ;

a_rs – направляющий элемент.

Схема правила прямоугольника:

После получения новой матрицы выбирается новый, отличный от нуля, направляющий элемент в другой строке, вычисляется новая матрица и т.д., пока матрица А не будет приведена к диагональному виду.

Пример. Решить следующую систему уравнений методом замещения:

.

Решение.

Так как число уравнений m=3 меньше числа неизвестных n=5, тогда ранг матрицы системы A_m´n не превосходит меньшего из ее размеров, т.е. . В этом случае система совместна и неопределенна, т.е. имеет бесконечное множество решений.

Выпишем расширенную матрицу системы:

.

Шаг 1. В качестве направляющего элемента удобно взять элемент равный единице ( ). Направляющую переменную следует исключить из остальных уравнений, поэтому на месте направляющего элемента добиваемся единицы, разделив элементы направляющей строки на направляющий элемент, а остальные элементы направляющего столбца будут равны нулю.

Так как , то элементы направляющей строки не меняются. Другие элементы новой матрицы находим по правилу прямоугольника:

.

Шаг 2. В качестве направляющего элемента берем элемент не равный нулю ( ). Делим элементы направляющей строки на направляющий элемент (–1), а остальные элементы направляющего столбца будут равны нулю. Другие элементы новой матрицы находим по правилу прямоугольника:

Шаг 3. В качестве направляющего элемента берем элемент третьей строки, например, . Делим элементы направляющей строки на направляющий элемент (10), а остальные элементы направляющего столбца будут равны нулю. Другие элементы новой матрицы находим по правилу прямоугольника.

Новая матрица имеет вид: .

Поменяем местами строки этой расширенной матрицы:

Так как все строки матрицы уже брались в качестве направляющих, то выпишем систему уравнений, соответствующую последней матрице:

Объявим свободными неизвестные х₃ и х₅ и сформируем правые части уравнений, оставляя в левых частях слагаемые, содержащие базисные переменные х₁, х₂, х_4.

Каждому набору значений свободных переменных соответствует единственное решение системы, тогда общее решение системы имеет вид:

,где - любые числа.