9.12. Вопросы для теоретического опроса

1. Понятие оператора (преобразования). Линейный оператор и его матрица.

2. Линейный оператор и линейное преобразование в координатах.

3. Зависимость между матрицами одного и того же преобразования в различных базисах. Подобные матрицы.

4. Действия над линейными операторами и их свойства.

5. Сопряжённый и самосопряжённый оператор и их свойства .

6. Собственные значения и собственные векторы линейного оператора (матрицы).

7. Приведение матрицы линейного преобразования к диагональному виду.

8. Линейная модель обмена (модель международной торговли).

10. Билинейные и квадратичные формы

10.1 Ортогональные и симметрические матрицы

Определение. Векторы , ,…, называются ортонормированными, если для любых .

Определение. Матрица А=(a_ij) (i, j=1, 2,…, n) называется ортогональной, если соответствующая ей система векторов

является ортонормированной.

Примеры ортогональных матриц:

Теорема. Необходимое и достаточное условие ортогональности матрицы А выражается равенством

или ,

где А^Т – матрица, полученная из матрицы А транспонированием, Е – единичная матрица того же порядка, что и А.

Свойства:

1. определитель ортогональной матрицы равен единице;

2. ортогональная матрица является невырожденной матрицей;

3. произведение двух ортогональных матриц есть ортогональная матрица;

4. матрица, полученная транспонированием ортогональной матрицы, является ортогональной;

5. матрица, обратная ортогональной матрице, является ортогональной.

Определение. Квадратная матрица, которая не меняется при транспонировании A^Т=А ( ), называется симметрической.

Для каждой симметрической матрицы А существует такая ортогональная матрица Q, что – диагональная матрица.

Алгоритм построения ортогональной матрицы:

1. Строят невырожденную матрицу Т, которая приводит матрицу А к диагональному виду;

2. Столбцы найденной матрицы Т подвергают процессу ортогонализации, а затем нормируют полученные векторы.

Процесс ортогонализации системы векторов – это построение системы векторов по следующим формулам:

Нахождение для каждого вектора системы векторов нормированного вектора по формуле:

называется нормированием данного вектора, где - нормирующий множитель;

3. Строят ортогональную матрицу Q, столбцами которой являются координаты полученной в пункте 2 ортонормированной системы векторов.

10.2. Билинейная и квадратичная формы

_{Определение. Заданная в вещественном векторном пространстве R функция двух переменных , относящая каждой паре х, у векторов число называется билинейной функцией, или билинейным функционалом, если}

.

.

.

,

_{где – произвольные векторы из R и α — любое (вещественное) число.}

_{Таким образом, есть линейный функционал по при фиксированном , и линейный функционал по при фиксированном .}

_{Например, билинейным функционалом может служить скалярное произведение векторов вещественного евклидова пространства.}

_{Найдем выражение билинейного функционала в координатах.}

_{Пусть в пространстве R задан базис и пусть}

Тогда:

_{где коэффициенты зависят от базиса и не зависят от х и у.}

_{Таким образом, в заданном базисе билинейный функционал представляется билинейной формой, т.е. выражением вида .}

_{Матрица называется матрицей этой билинейной формы. В частности, скалярное произведение представляется билинейной формой:}

_{, где .}

_{Билинейную форму можно рассматривать как матричное произведение:}

_,

_{где – строка из координат вектора , – столбец из координат вектора и – матрица билинейной формы.}

_{Найдем, как изменяется матрица билинейной формы при переходе к новому базису.}

_{Пусть в} базисе

_, где

и пусть – новый базис, в котором

_, где

Положим и обозначим через матрицу перехода от старого базиса к новому, тогда

Обозначив c_ip через d_pi получим

Матрица является транспонированной к матрице . Далее, так как есть элемент, стоящий в i-строке и q-м столбце матрицы АС, то

– это элемент, стоящий в р-й строке и q-м столбце матрицы .

Таким образом,

Заметим, что так как матрица перехода С (а значит, ) является невырожденной (т.е. имеет ранг n), то ранг матрицы В равен рангу матрицы А.

Таким образом, ранг матрицы билинейной формы не зависит от выбора базиса и называется рангом самой билинейной формы (билинейного функционала).

Билинейный функционал называется симметрическим, если для всех и из R

.

В этом случае , т.е. матрица соответствующей билинейной формы (в любом базисе) будет симметрической; обратно, если матрица билинейной формы (в каком-то базисе) – симметрическая, то и соответствующий билинейный функционал будет симметрическим.

Если в симметрической билинейной форме положить , то получится квадратичная форма . При этом матрица А квадратичной формы - это, по определению, симметрическая матрица А отвечающей билинейной формы .

Заметим, что по квадратичной форме породившая ее симметрическая билинейная форма определяется однозначно.

_{Определение.} Билинейная функция называется кососимметрической, если

при всех . В заданном базисе кососимметрическая функция представляется кососимметрической формой

_,

где при всех i, k и, частности, .

Пусть - произвольный билинейный функционал. Тогда

является, очевидно, симметрическим, а – кососимметрическим функционалами. Но

,

следовательно, каждый билинейный функционал может быть представлен в виде суммы симметрического и кососимметрического функционалов.