5.5. Основные методы вычисления определителя n–го порядка

1. Метод эффективного понижения порядка.

Используя основные свойства определителей, вычисление определителя n–го порядка D_n ¹0 сводится к вычислению определителя (n–1) –го порядка, сделав в каком-либо ряду определителя n–го порядка D_n все элементы, кроме одного, равными нулю.

2. Приведение определителя к треугольному виду.

Определитель, у которого все элементы, находящиеся выше или ниже главной диагонали, равны нулю, называется определителем треугольного вида. В этом случае определитель равен произведению элементов его главной диагонали.

Пример. Вычислить определитель четвертого порядка используя методы эффективного понижения порядка и приведения определителя к треугольному виду: .

Решение.

Вычисление определителя четвертого порядка может быть сведено к вычислению четырех определителей третьего порядка (т.е. если представить его в виде разложения по элементам какой либо строки или какого- либо столбца).

Применим метод эффективного понижения порядка. Вынесем за знак определителя общий множитель 2 всех элементов первой строки. Затем к элементам второй строки прибавим элементы первой строки, умноженные на (–4), в результате получим нуль на пересечении первого столбца и второй строки; аналогично получим нули на пересечениях первого столбца с третьей и четвертой строками:

Полученный определитель разложим по элементам первого столбца, в результате чего получим определитель третьего порядка. Дважды вынесем за знак определителя множитель (-2): сначала из всех элементов первого столбца, а затем из всех элементов второй строки, а затем к элементам второго столбца прибавим элементы первого столбца, умноженные на (-1), а к элементам третьего столбца – элементы первого столбца, умноженные на 2.

Полученный определитель разложим по элементам второй строки и вычислим определитель второго порядка, умноженный на коэффициент 8:

Таким образом, вычисление определителя четвертого порядка сведено к вычислению одного определителя третьего, а затем к вычислению одного определителя второго порядка.

Теперь применим метод приведения определителя к треугольному виду. Выполним следующие операции:

1. вынесем общий множитель 2 всех элементов первой строки за знак определителя;

2. вынесем общий множитель 2 всех элементов второго столбца за знак определителя;

3. к элементам второй строки прибавим элементы первой строки, умноженные на (-4), в результате чего получим нуль на пересечении первого столбца и второй строки; аналогично получим нули на пересечениях первого столбца с третьей и четвертой строками;

4. к элементам третьей строки прибавим элементы второй строки, умноженные на ( ), в результате чего получим нуль на пересечении второго столбца и третьей строки; аналогично получим нули на пересечениях второго столбца и четвертой строки ;

5. к элементам четвертой строки прибавим элементы третьей строки, умноженные на ( ), в результате чего получим нуль на пересечении третьего столбца и четвертой строки.

Таким образом, вычисление определителя четвертого порядка сведено к вычислению произведения элементов главной диагонали и множителя, вынесенного за знак определителя.