9.7. Приведение матрицы линейного преобразования к диагональному виду

Матрица линейного преобразования имеет диагональный вид

тогда и только тогда, когда каждый базисный вектор является собственным вектором этого преобразования.

Матрица А называется приведенной к диагональному виду, если существует невырожденная матрица Т такая, что матрица Т^–1АТ=В является диагональной.

Столбцами матрицы Т являются координаты векторов этого базиса. Следовательно, если матрица А приведена к диагональному виду, то

где l₁, l₂ ,..., l_n – характеристические числа матрицы А.

Если все собственные числа попарно различны, то матрица приводится к диагональному виду.

Алгоритм построения матрицы Т:

1. Найти все собственные значения матрицы А;

2. Для каждого значения l_i найти фундаментальную систему решений однородной системы линейных уравнений ;

3. Построить матрицу Т, столбцами которой являются координаты решений всех найденных фундаментальных систем;

4. Если полученная матрица Т является квадратной, то она приводит матрицу А к диагональному виду. Если же матрица Т не является квадратной, то матрица А не может быть приведена к диагональному виду.

9.8. Упражнения

Найти собственные значения и собственные векторы матрицы А:

1. Ответ: .

2. Ответ:

3. Ответ:

4. Ответ: .

5. Ответ: .

6. (Ответ: .

7. (Ответ: .

8. (Ответ:

9. (Ответ: .

9.9. Контрольные задания

Найти собственные значения и собственные векторы матрицы А.

9.10. Типовой расчет

Найти собственные значения и собственные векторы матрицы А.

,

где n – номер студента в групповом журнале.

9.11. Вопросы для самопроверки

1. Что называется оператором?

2. Сформулируйте определение линейного оператора и приведите его свойства.

3. В чем заключается действие линейного оператора на вектор?

4. Как определяется матрица линейного оператора?

5. Как связаны матрицы линейных операторов в разных базисах?

6. Как матрица называется подобной?

7. Какой оператор называется суммой линейных операторов? Укажите его свойства.

8. Какой оператор называется произведением линейного оператора на число? Укажите его свойства.

9. Какой оператор называется произведением двух линейных операторов? Укажите его свойства.

10. Какой оператор называется сопряжённым по отношению к другому оператору?

11. Какой оператор называется самосопряжённым? Укажите его свойства.

12. Как выглядит характеристическое уравнение оператора?

13. Что такое собственные векторы и собственные значения линейного оператора?

14. Как вычисляются собственные вектора и собственные числа оператора?

15. Каким свойством обладает матрица линейного оператора, характеристическое уравнение которого имеет n различных вещественных корней?

16. При каком условии матрица линейного преобразования имеет диагональный вид?