6.2. Методы нахождения ранга матрицы.
Существует два метода нахождения ранга матрицы.
1. Метод окаймляющих миноров
При вычислении ранга матрицы этим способом следует переходить от миноров низших порядков к минорам более высокого порядка. Если уже найден минор k-го порядка матрицы А, отличный от нуля, то требуют вычисления лишь миноры (k+1)-го порядка, окаймляющие минор, т.е. содержащие его в качестве минора. Если все они равны нулю, то ранг матрицы равен k.
Алгоритм метода заключается в следующем.
Найти какой-нибудь минор первого порядка М1 (т.е. элемент матрицы), отличный от нуля. Если такого минора нет, то матрица нулевая и ранг матрицы равен нулю:
.Вычислить миноры второго порядка, содержащие М1 (окаймляющие М1) до тех пор, пока не найдется минор М2, отличный от нуля. Если такого минора нет, то ранг матрицы
,
если есть, то
и т.д.Вычислить (если они существуют) миноры k- го порядка, окаймляющие минор Мk-1, отличный от нуля. Если такого минора нет, то ранг матрицы
,
если есть, то
и т.д.
При нахождении ранга матрицы таким способом достаточно на каждом шаге найти всего один ненулевой минор k–го порядка, причем его ищут его среди миноров, содержащих минор Мk-1, отличный от нуля.
Пример. Найти ранг матрицы методом окаймляющих миноров:
.
Решение.
Так
как у матрицы А
есть ненулевые элементы, то ранг матрицы
r(A)≥1.
Найдем какой-нибудь минор второго
порядка. Таким минором является, например,
.
Значит, r(A)≥2.
Вычислим миноры третьего порядка, окаймляющие минор М2.
; 
.
Все миноры третьего порядка, окаймляющие минор М2, равны нулю, следовательно, r(A)<3, т.е. r(A)=2.
2. Метод элементарных преобразований
Определение. Преобразования, сохраняющие ранг матрицы, называются элементарными преобразованиями матрицы.
К элементарным преобразованиям матрицы относятся:
отбрасывание нулевой строки (столбца);
умножение всех элементов строки (столбца) матрицы на число, отличное от нуля;
изменение порядка строк и столбцов матрицы;
прибавление к каждому элементу некоторой строки (столбца) соответствующих элементов другой строки (столбца), умноженные на любое число, отличное от нуля;
транспонирование матрицы.
Так как ранг матрицы не изменяется при элементарных преобразованиях, то необходимо привести матрицу к так называемому ступенчатому виду. В этом случае ранг ступенчатой матрицы равен количеству ее ненулевых строк (или числу ненулевых элементов главной диагонали матрицы) ступенчатого вида.
Алгоритм метода элементарных преобразований.
Если элемент матрицы
,
перестановкой строк и столбцов добиваются
того, что бы
.Если , то, умножая элементы первой строки на подходящие числа, и затем, складывая их с соответствующими элементами других строк, добьемся того, чтобы все элементы первого столбца, кроме , равнялись нулю. Аналогично проводят преобразования для остальных строк.
Если в процессе преобразований получаются строки (или столбцы), целиком состоящие из нулей, то отбрасываем эти строки (или столбцы). При этом получаем матрицу ступенчатого вида, у которой ранг равен количеству ее ненулевых строк (или числу ненулевых элементов главной диагонали матрицы ступенчатого вида).
Пример.
Найти ранг матрицы:
Решение.
Матрица А имеет размер 4Ч3, значит, r(A)≤3. С помощью элементарных преобразований, не меняющих ранг матрицы, приведем матрицу А к ступенчатому виду.
Транспонируем матрицу А.
~
(-1)
~
В новой матрице поменяем местами вторую и третью строки. Затем сделаем нулевыми все элементы матрицы под крайним элементом второй строки для чего умножим элементы второй строки на (-3) и сложим ее с третьей строкой матрицы:
~
.
Получили ступенчатую матрицу размера 3Ч4, у которой три ненулевых элемента на главной диагонали. Таким образом, эта матрица имеет ненулевой минор 3-го порядка, например,
.
Значит, r(A)=3.
Пример.
Используя элементарные преобразования,
найти ранг матрицы
.
Решение.
При вычислении ранга матрицы производят те же преобразования, что и при вычислении определителя
