4.3. Применение элементов линейной алгебры в экономике.

Пример. В таблице приведены данные о дневной производительности 5 предприятий, выпускающих 4 вида продукций с потреблением 3-х видов сырья, а также продолжительность работы каждого предприятия в году и цена каждого вида сырья.

Требуется определить:

1. годовую производительность каждого предприятия по каждому виду изделий

2. годовую потребность каждого предприятия по каждому виду сырья

3. годовую сумму кредитования каждого предприятия для закупки сырья, необходимого для выпуска продукции указанных видов и количеств.

Виды продукций	Производительность предприятий изд./день					Затраты видов сырья изделия ед. веса/изд.
	1	2	3	4	5	1	2	3
	4	5	3	6	7	2	3	4
	0	2	4	3	0	3	5	6
	8	1	0	4	6	4	4	5
	3	5	7	5	4	5	8	6
	Количество рабочих дней в году					Цена видов сырья
	1	2	3	4	5	1	2	3
	200	150	170	120	140	40	50	60

Решение.

Составим матрицы по всем экономическим показателям производства, а затем при помощи соответствующих операций над ними получим решение задачи.

Матрица производительности предприятий по всем видам продукции:

производительность

вид изделия

Каждый столбец - дневная производительность отдельного предприятия по каждому виду продукции. Годовая производительность j-го предприятия по каждому виду продукции получится умножением j-го столбца матрицы А на количество рабочих дней для этого предприятия

Матрица затрат сырья на единицу изделия (эти показатели по условию одинаковы для всех предприятий)

Вид изделия

вид сырья

Дневной расход по типам сырья на предприятиях

, где

i-я строка соответствует номеру типа сырья, а j-й столбец - номеру предприятия.

Годовая потребность каждого предприятия по каждому виду сырья:

Введем вектор стоимости сырья.

Тогда стоимость общего годового запаса сырья

Следовательно, суммы кредитования предприятий для закупки сырья определяются соответствующими компонентами вектора .

4.4. Упражнения

1. Даны матрицы А, В и С. Вычислить , где

, и . Ответ: .

2. Даны матрицы А, В и С. Вычислить D= ABС, где

, и . Ответ: .

3. Даны матрицы А, В и С. Вычислить D= ABС–3Е, где

, , и Е – единичная матрица.

Ответ: .

Вычислить D=A³, если . Ответ: .

4. Даны матрицы А и В. Вычислить: С= A+B, С₁= A–3B, если

и . Ответ: , .

5. Даны матрицы А и В. Вычислить С= (A+3B)², если

и . Ответ: .

6. Даны матрицы А, В и С. Вычислить D= A^ТB, где

и . Ответ: .

7. Даны матрицы А, В, С и D. Вычислить F= A^ТB-CD, где

а)

Ответ: .

б)

Ответ: .

в)

Ответ: .

Пример. В таблице указано количество единиц продукции, отгружаемой ежедневно на молокозаводах 1 и 2 в магазины М₁, М₂ и М₃, причем доставка единицы продукции с каждого молокозавода в магазин М₁ стоит 50 ден. ед., в магазин М₂ – 70, а в М₃ – 130 ден. ед. Подсчитать ежедневные транспортные расходы каждого завода.

Молокозавод	Магазин
	М1	М2	М3
1	20	35	10
2	15	27	8

Ответ: первый завод ежедневно тратит на перевозки 4750 ден. ед., второй - 3680 ден.ед.

Пример. Швейное предприятие производит зимние пальто, демисезонные пальто и плащи. Плановый выпуск за декаду характеризуется вектором . Используются ткани четырех типов Т₁, Т₂, Т₃, Т₄. В таблице приведены нормы расхода ткани (в метрах) на каждое изделие. Вектор задает стоимость метра ткани каждого типа, а вектор – стоимость перевозки метра ткани каждого вида.

Изделие	Расход ткани
	Т1	Т2	Т3	Т4
Зимнее пальто	5	1	0	3
Демисезонное пальто	3	2	0	2
Плащ	0	0	4	3

1. Сколько метров ткани каждого типа потребуется для выполнения плана?

2. Найти стоимость ткани, расходуемой на пошив изделия каждого вида.

3. Определить стоимость всей ткани, необходимой для выполнения плана.

4. Подсчитать стоимость всей ткани с учетом ее транспортировки.

Ответ: 1) , 2) ,

3) , 4) .