9. Линейные операторы (линейные преобразования)

Пусть заданы два линейных пространства Rⁿ и R^m размерности n и m соответственно.

Определение. Правило (закон), по которому каждому вектору линейного пространства Rⁿ ставится в соответствие единственный вектор линейного пространства R^m, называется оператором (преобразованием или отображением), действующим в линейных пространствах Rⁿ, R^m.

Результат действия оператора на вектор обозначают и говорят, что оператор переводит вектор в вектор .

Определение. Вектор называют образом вектора , а вектор – прообразом вектора элемента .

Определение. Множество элементов линейного пространства Rⁿ, для которых определено действие оператора , называют областью определения оператора и обозначают .

Определение. Множество элементов линейного пространства R^m, которые являются образами элементов из области определения оператора , называют образом оператора и обозначают . Если , то и .

Определение. Оператор (преобразование) , действующий в линейных пространствах Rⁿ, R^m называется линейным, если для любых двух векторов линейного пространства Rⁿ и любого скаляра основного поля a выполняются условия:

– свойство аддитивности оператора.

– свойство однородности оператора.

Если пространства Rⁿ и R^m совпадают, то говорят, что оператор действует в пространстве Rⁿ или оператор отображает пространство Rⁿ в себя. В дальнейшем ограничимся рассмотрением линейных операторов, действующих в линейном пространстве Rⁿ.

9.1. Линейный оператор и его матрица

Рассмотрим линейный оператор , действующий в конечномерном линейном пространстве Rⁿ, переводящий базисные векторы в векторы .

Любой вектор данного пространства единственным образом раскладывается по векторам данного базиса, т.е.

.

Обозначим образы базисных векторов :

.

Определение. Матрица

столбцами которой являются координаты образов базисных векторов (т.е. a_ij – i– ая координата образа j – ого базисного вектора) называется матрицей линейного преобразования в заданном базисе.

Определение. Рангом линейного преобразования называется ранг его матрицы.

Если в векторном пространстве Rⁿ задан базис, то каждому линейному преобразованию соответствует единственная квадратная матрица порядка n; и обратно – каждая квадратная матрица порядка n задает единственный линейный оператор, действующий в этом пространстве.

Для того, чтобы оператор был невырожденным, необходимо и достаточно, чтобы определитель матрицы А этого оператора был отличен от нуля.

Отметим, что нулевой оператор – это оператор, переводящий все векторы пространства Rⁿ в нулевые векторы  , а тождественный оператор – это оператор, действующий по правилу: .

Таким образом, матрица тождественного преобразования в любом базисе будет единичной; обратно, любой единичной матрице n –го порядка соответствует тождественное преобразование n-мерного линейного пространства.

9.2. Линейное преобразование в координатах

Рассмотрим линейное преобразование в n – мерном линейном пространстве Rⁿ, заданное в некотором базисе матрицей:

Любой вектор данного пространства единственным образом раскладывается по координатам заданного базиса, т.е.

.

Подействуем на данный вектор линейным оператором :

Так как базисные вектора так же являются векторами данного пространства, то они раскладываются по координатам заданного базиса

.

Следовательно, получим

С другой стороны, вектор можно разложить по координатам данного базиса следующим образом:

.

Таким образом, оба разложения являются разложением одного и того же вектора, т.е. выполняется система равенств:

Полученную систему векторов можно записать в матричном виде

.

Таким образом, связь между вектором и его образом может быть представлена в виде , где А – матрица линейного оператора.

Пример. Пусть в пространстве R³ линейный оператор в базисе e₁, e₂, e₃ задан матрицей . Найти образ вектора = 4e₁ - 3e₂ + e₃.

Решение.

Из условия следует, что вектор . По формуле имеем

 .

Следовательно, = 10e₁ - 13e₂ - e₃.