10.3. Квадратичные формы

Квадратичной формой L(x₁,...,x_n) от n переменных x₁,...,x_n называется сумма, каждый член которой является либо квадратом одной переменной, либо произведением двух разных переменных, взятых с некоторыми коэффициентами, т.е.

,

где – действительные числа, называемые коэффициентами, причем .

Квадратичная форма называется действительной или комплексной в зависимости от того, являются коэффициенты соответственно действительными или комплексными числами.

Матрица , составленная из этих коэффициентов, называется матрицей квадратичной формы.

Так как , то матрица А – симметрическая матрица, т.е. она совпадает со своей транспонированной матрицей : A^Т=А ( ).

Рангом квадратичной формы называется ранг ее матрицы.

Обозначим через – матрицу – столбец переменных, тогда квадратичная форма в матричной записи имеет вид:

,

Пример. Дана квадратичная форма

.

Найти матрицу квадратичной формы.

Решение.

Диагональные элементы матрицы квадратичной формы равны коэффициентам при квадратах переменных, т.е. а₁₁ = 4, а₂₂ = 1, а₃₃ = –3. Другие же элементы матрицы квадратичной формы равны половинам соответствующих коэффициентов квадратичной формы. Таким образом, матрица имеет вид

.

10.4. Преобразование квадратичной формы при линейном преобразовании переменных

Рассмотрим квадратичную форму

Если в квадратичной форме неизвестные вектор – столбцы и связаны линейным соотношением X=CY, где некоторая невырожденная матрица n-ого порядка, т.е. подвергаются линейному преобразованию, то квадратичная форма имеет вид

,

где матрица квадратичной формы .

В этом случае говорят, что квадратичная форма переводится в квадратичную форму линейным преобразованием X=CY.

Две квадратичные формы называются конгруэнтными, если существует невырожденное преобразование, переводящее одну форму в другую.

Если две квадратичные формы конгруэнтны, то это обозначается так: ~ .

Свойства конгруэнтных квадратичных форм:

1. Определители матриц конгруэнтных квадратичных форм имеют одинаковые знаки;

2. Конгруэнтные квадратичные формы имеют одинаковые ранги.

Пример.

Дана квадратичная форма . Найти квадратичную форму , полученную из данной линейным преобразованием ,

Решение.

Матрица данной квадратичной формы , а матрица линейного преобразования . Таким образом, матрица искомой квадратичной формы имеет вид

а квадратичная форма имеет вид

10.5. Приведение квадратичной формы к каноническому виду

Квадратичная форма называется канонической, она не содержит произведений различных переменных, т.е. если все ее коэффициенты при :

,

а ее матрица является диагональной.

Квадратичная форма называется нормальной (или имеет нормальный вид), если , т.е. отличные от нуля коэффициенты при квадратах переменных равны или +1 или –1:

,

а ее матрица является диагональной.

Например, квадратичная форма имеет канонический вид, а квадратичная форма имеет нормальный вид.

Теорема. Любая квадратичная форма с помощью невырожденного линейного преобразования переменных может быть приведена к каноническому виду

где – новые переменные.

Некоторые из коэффициентов могут оказаться равными нулю. Число отличных от нуля коэффициентов в этой формуле равно рангу r матрицы квадратичной формы и не меняется при линейных преобразованиях.

Теорема. Любая квадратичная форма с помощью невырожденного линейного преобразования переменных может быть приведена к нормальному виду

где – новые переменные, число которых равно рангу формы.

Пример. Привести к каноническому виду квадратичную форму .

Решение.

Выделим полный квадрат при переменной х₁:

Аналогично выделим полный квадрат при переменной х₂:

Итак, невырожденное линейное преобразование имеет вид:

приводит данную квадратичную форму к каноническому виду

Канонический вид квадратичной формы не является однозначно определенным, т.к. одна и та же квадратичная форма может быть приведена к каноническому виду несколькими способами.