6.3. Упражнения

1.Найти ранг матрицы:

а) ; б) ; в) ; г)

(Ответ: а) r=2; б) r=2; в) r=3; г) r=2.)

2. Найти ранг матрицы:

а) ; б) ; в) ; г)

(Ответ: а) r=2; б) r=3; в) r=3; г) r=3.)

6.4. Контрольные задания

Найти ранг матрицы A методом элементарных преобразований

6.5. Типовой расчет

Дана матрица , где n – номер студента в групповом журнале, а k – номер группы студента.

Найти ранг матрицы A:

1) методом окаймляющих миноров;

2) методом элементарных преобразований.

6.6. Вопросы для самопроверки

1. Какой минор называется базисным?

2. Что называется рангом матрицы?

3. Какие строки (столбцы) матрицы называются линейно зависимыми?

4. Укажите свойства ранга матрицы.

5. Изложите метод окаймляющих миноров вычисления ранга матрицы.

6. Сформулируйте теорему о ранге матрицы.

7. Изложите метод элементарных преобразований вычисления ранга матрицы.

6.7. Вопросы для теоретического опроса

1. Линейная зависимость и независимость строк (столбцов) матрицы.

2. Ранг матрицы и его связь с понятием линейной зависимости и независимости ее строк или столбцов.

3. Свойства ранга матрицы. Справедливые утверждения для рангов матриц. Методы нахождения ранга матрицы.

4. Базисный минор. Теорема о ранге матрицы (о базисном миноре).

5. Нахождение ранга матрицы методом окаймляющих миноров.

6. Нахождение ранга матрицы методом элементарных преобразований.

7. Обратная матрица

7.1. Основные понятия

Определение. Матрица А^-1 называется обратной для квадратной матрицы А n–го порядка, если выполняются равенства

A A^-1 = A^-1A = E,

где Е – единичная матрица. При этом матрица А называется обратимой.

Замечание. У квадратной матрицы А существует не более одной обратной матрицы.

Доказательство. Действительно, пусть X и Y – две обратные матрицы для А. по определению это означает, что и . Составим произведение:

.■

Свойства обратных матриц

Если квадратные матрицы А и В одинаковых порядков и обратимы, то справедливы несколько равенств.

1. .

Доказательство. В равенстве перейдем к определителям

.■

2. _.

Доказательство. Заметим, что если для некоторой матрицы С существует обратная С^-1 такая, что , то матрица С обратима. Возьмем в качестве матрицы С^-1 матрицу А, а в качестве матрицы С - матрицу А^-1. Тогда получаем, что матрица А^-1 обратима, причем обратной к ней является матрица А, т.е. .■

3. _.

Доказательство. В равенстве перейдем к транспонированным матрицам

.

Это равенство означает обратимость матрицы , причем .■

4. _.

Рассмотрим матрицу . Составим произведения

.

.

Следовательно, матрица обратима и обратной является .■

Определение. Матрица А называется невырожденной или неособенной, если определитель матрицы не равен нулю ( ), в противном случае ( )– вырожденной (особенной).

Определение. Квадратная матрица называется невырожденной (неособенной), если порядок матрицы совпадает с рангом матрицы.

Теорема. Произведение квадратных матриц невырожденно тогда и только тогда, когда невырождена каждая из перемножаемых матриц.

Доказательство. В самом деле,

■

Замечание. Вырожденная матрица не имеет обратной, т.е. не является обратимой.

Доказательство. В самом деле, пусть и существует матрица А^-1 такая, что A A^-1= A^-1A= E. В последнем равенстве перейдем к определителям:

.

Получили противоречие, т.е. наше предположение неверно. ■

Определение. Присоединенной матрицей для матрицы А называется матрица , получающаяся путем транспонирования матрицы, составленной из алгебраических дополнений элементов матрицы А:

.

Теорема (о присоединенной матрице). Произведение присоединенной матрицы слева и справа на матрицу А равно определителю матрицы А, умноженному на единичную матрицу:

.

Доказательство. Ясно, что , и - квадратные матрицы одного и того же порядка n.

.

Равенство доказывается аналогично. ■