3.8. Базис и ранг системы векторов

Определение. Система векторов А линейно выражается через систему вектор В, если любой вектор является линейной комбинацией некоторой конечной подсистемы векторов В.

Ясно, что если , то А линейно выражается через В:

Понятие линейного выражения одной системы через другую обладает свойством транзитивности: если А выражается через В, В выражается через С, то А выражается через С.

Определение. Две системы называются эквивалентными, если они выражаются друг через друга.

Замечание. Отношение эквивалентности систем векторов обладает всеми свойствами абстрактного отношения эквивалентности:

1. – рефлексивность;

2. – симметричность;

3. – транзитивность.

Теорема. Пусть В – линейно независимая подсистема системы векторов А, тогда равносильны три утверждения:

1. Система векторов А линейно выражается через подсистему векторов В.

2. Система векторов с присоединенным вектором а, где а – любой вектор из А, является линейно зависимой.

3. В системе векторов А не существует линейно независимых подсистем с числом вектором, большим, чем в системе В.

Доказательство. По условию теоремы система А может быть конечной или бесконечной, однако подсистема В – только конечной (по теореме о максимальном числе линейно независимых векторов).

Шаг 1. Докажем, что . Рассмотрим систему , где - любой вектор. Так как а линейно выражается через В, то по критерию линейной зависимости система линейно зависима, т.е. 2) выполнено.

Выполнение условия 2 означает, что В является максимально независимой подсистемой системы А.

Шаг 2. Докажем, что . Пусть - любая линейно независимая подсистема системы А. Возьмем любой вектор . Рассмотрим систему , которая по условию 2 является линейно зависимой. Тогда по свойству 3 линейной зависимости вектор а является линейной комбинацией подсистемы В. Следовательно, все векторы линейно независимой подсистемы являются линейными комбинациями векторов подсистемы В и число векторов в не превосходит числа векторов в В.

Шаг 3. Докажем, что . Рассмотрим любой вектор и образуем систему , где векторов на 1 больше, чем в В. Поэтому по свойству 3 линейной зависимости вектор а является линейно комбинацией векторов из В, поэтому А линейно выражается через подсистему векторов В.

Определение. Базисом системы векторов А называется любая ее линейно независимая подсистема В, через которую линейно выражаются все векторы системы А.

Определение. Базисом системы векторов А называется любая ее максимальная линейно независимая подсистема В.

Пример. . В является базисом А.

Пример. Совокупность двумерных единичных векторов , составляют единичный базис двумерного пространства; ранг двумерного пространства равен двум.

Свойства базисов.

1. Система векторов А эквивалентна любому своему базису В.

Доказательство. Так как В – базис системы векторов А, то А линейно выражаются через В. С другой стороны, В линейно выражаются через А, т.к. . Следовательно, .■

2. Число векторов во всех базисах одно и то же.

Доказательство. Пусть В и – два базиса системы векторов А, причем , n – число векторов в В, m – число векторов в . Тогда В линейно независима и линейно выражаются через и . Меняя ролями В и , получаем . Таким образом, . ■

Определение. Рангом системы векторов А называется число векторов в любом ее базисе.

Определение. Рангом системы векторов А называется максимальное число ее линейно независимых векторов.

Обозначается ранг или rang A, или rank A, или r(A).

Свойства рангов.

1. Если линейно независимая система векторов А линейно выражается через систему векторов В, то .

2. Ранги эквивалентных систем равны.