3.9. Переход от одного базиса к другому. Метод замещения

Каждый n- мерный вектор разлагается по диагональной системе единичных вектор n- мерного пространства, и притом единственным образом, с коэффициентами разложения равными координатам разлагаемого вектора

Это выражение называется разложением вектора по базису.

Встает вопрос: каждый из векторов системы можно представить в виде линейной комбинации других векторов этой системы, если удается заменить единичные вектора векторами системы, при этом система векторов будет линейно зависимой, если в разложении единичные векторы удастся заменить соответствующими векторами системы.

Определение. Метод, с помощью которого осуществляется переход от одного базиса к другому путем последовательной замены векторов базиса векторами системы, называется методом замещения.

Рассмотрим сущность метода на примере.

Пример. Даны три вектора: , , . Требуется установить линейную зависимость системы векторов и определить ранг системы векторов.

Решение.

Каждый из этих векторов можно представить в виде линейной комбинации векторов единичного базиса: , .

, , .

Этому представлению соответствует таблица, где буквой Б обозначен базис, а буквой В – векторы системы.

В Б
	1	2	-2
	3	4	5

Система векторов будет линейно зависимой, если единичные векторы удастся заменить соответствующими векторами системы.

Начнем процесс замещения. Например, заменим вектор вектором . Вектор-столбец, соответствующий вектору, вводимому в базис, будем называть направляющим вектор - столбцом. Аналогично вектор-строку, соответствующую вектору, исключаемому из базиса, назовем направляющей вектор - строкой.

Элемент, стоящий на пересечении направляющего столбца и направляющей строки, будем называть направляющим. В нашем случае направляющим элементом будет 1. Если мы решили ввести в базис вектор , то в разложении по новому базису , вектор будет иметь компоненты (1,0), так как .

Согласно этому замечанию необходимо так преобразовать исходную таблицу, чтобы на месте направляющего элемента стояла единица, а на остальных местах направляющего столбца – нули. С этой целью умножим направляющую строку на –3 и присоединим ее ко второй строке; получим новую таблицу:

В Б
	1	2	-2
	0	-2	11

Введем в базис вектор . Тогда в новом базисе вектор должен иметь компоненты (0,1), так как .

Формально, это соответствует тому, что на месте направляющего элемента –2 нужно получить 1, а на остальных местах направляющего столбца – нули. С этой целью поделим направляющую строку на –2:

В Б
	1	2	-2
	0	1

Умножаем преобразованную направляющую строку на –2 и присоединяем ее к первой строке. Получаем таблицу, из которой видно, что векторы системы в новом базисе могут быть представлены так:

, , .

В Б
	1	0	9
	0	1

Сравнивая (1) и (2), заключаем, что векторы заменены векторами и вектор является их линейной комбинацией. Таким образом, система векторов – линейно зависима; ранг равен двум, и базис состоит из векторов .

Пример. Дана система векторов , , . Установить линейную зависимость или независимость системы векторов и определить ранг этой системы.

Решение.

Каждый из векторов можно представить в виде линейной комбинации векторов единичного базиса: , , .

, , .

Для определения коэффициентов разложения методом замещения составляется таблица, элементами которой являются коэффициенты разложения векторов по векторам базиса , т.е.

В Б
	2	3	1
	1	1	2
	3	4	1

Заменим вектор вектором . В новой таблице на месте разрешающего элемента надо получить 1, для этого поделим направляющую строку на 2 и запишем ее в новую таблицу, а из второй строки вычитаем преобразованную первую строку и результат запишем в новую таблицу.

В Б
	1	3/2	1/2
	0	-1/2	3/2
	0	-1/2	-1/2

Воспользуемся упрощенным способом преобразования (правилом прямоугольника).

Мы должны преобразовать таблицу так, чтобы на месте направляющего элемента стояла единица, а на остальных местах – нули. Для этого элементы направляющей строки делятся на разрешающий элемент a_rs¹0, а элементы других строк заменяются на новые по правилу прямоугольника:

,

где – определяемый элемент;

– заменяемый элемент;

– элементы, стоящие в оставшихся углах прямоугольника:

– элемент направляющей строки, стоящий в одном столбце с заменяемым элементом ;

a_is – элемент направляющего столбца, стоящий в одной строке с заменяемым элементом .

a_rs – направляющий элемент.

Схема правила прямоугольника:

Замечание. Векторы исходного единичного базиса можно заменять векторами системы в произвольной последовательности при условии, что направляющий элемент должен быть отличен от нуля.

На месте разрешающего элемента добиваемся единицы, разделив элементы разрешающей строки на разрешающий элемент, а остальные элементы направляющего столбца будут равны нулю:

В Б
	1	3/2	1/2
	0	-1/2	3/2
	0	-1/2	-1/2

Введем в базис вектор вместо вектора . После вычислений получим следующую таблицу:

В Б
	1	0	5
	0	1	-3
	0	0	-2

Теперь введем в базис вектор вместо вектора . В итоге получим таблицу:

В Б
	1	0	0
	0	1	0
	0	0	1

Все векторы исходного базиса заменены векторами данной системы. Это означает, что векторы данной системы линейно независимы; ранг равен трем: r = 3.

Таким образом, если все векторы исходного единичного базиса заменены всеми векторами данной системы, то вектора данной системы линейно независимы (процесс замещения осуществлен до конца).

Если все векторы исходного единичного базиса заменены частью векторов данной системы или часть векторов исходного единичного базиса заменены всеми векторами данной системы, однако процесс замещения продолжать нельзя, так как все элементы строк незамещенных векторов – нули, вектора данной системы линейно зависимы.