2.2. Схема Горнера

При делении многочлена f(x), расположенного по убывающим степеням х, на двучлен применяют метод сокращенного деления, называемый схемой Горнера. Этот метод есть непосредственное следствие метода неопределенных коэффициентов.

Пусть даны два многочлена f(x) и g(x):

,

Разделим f(x) на g(x). Тогда . Найдем частное q(x) в виде

Найдем все коэффициенты и r.

Имеем

Приравняем коэффициенты при одинаковых степенях х:

Практически вычисление коэффициентов частного и остатка r проводится по следующей схеме (схеме Горнера)

				…
γ				…

или

				…
		+	+		+	+
				…
γ				…

По этой схеме, начиная с коэффициента , каждое число третьей строки получается из предыдущего числа этой строки умножением на число γ и прибавлением к полученному результату соответствующего числа первой строки, стоящего над искомым числом.

Пример. С помощью схемы Горнера разделить многочлен на двучлен .

Решение.

Вычислим коэффициенты при одинаковых степенях х:

	=1	= –5	=0	=8
		+	+	+
γ=2

Таким образом, .

2.3. Корни многочлена

Определение. Корнем многочлена f(x) называется число такое, что f(γ)=0, т.е.

Определение. Число γ называется k-кратным корнем многочлена f(x), если

.

2.3.1. Разложение многочлена степени n на множители

Пусть многочлен

с действительными коэффициентами, имеющий как действительные корни (среди которых есть кратные), так и комплексные (среди которых также есть кратные), тогда многочлен можно представить в виде:

, где

– различные действительные корни многочлена, кратностей ( ) соответственно;

- действительные числа, а квадратные трехчлены вида не имеет действительных корней ( ), (каждый множитель можно представить в виде , где – пара сопряженных комплексных корней кратности l_i).

Теорема Виета. Если многочлен имеет вид

и — корни многочлена (каждый кратный корень взят здесь столько раз, какова его кратность), то:

В частности,

• при n=2

;

• при n=3

Теорема Виета. Если приведенный многочлен имеет вид

и - корни многочлена (каждый кратный корень взят здесь столько раз, какова его кратность), то:

В частности,

• при n=2

;

• при n=3

Для того чтобы несократимая дробь (p – целое, q– натуральное) была корнем многочлена

с целыми коэффициентами, необходимо, чтобы число p было делителем свободного члена , а число q – делителем старшего коэффициента .

В частности, если многочлен имеет целые коэффициенты и , то рациональными корнями такого многочлена могут быть только целые числа, которые являются делителями свободного члена .