10.8. Упражнения

Дана квадратичная форма L. Написать квадратичную форму в матричном виде. Найти ранг матрицы квадратичной формы L:

1. .

Ответ:  , r=2.

2. 

Ответ:  , r=3.

3. .

Ответ:  , r=3.

Привести квадратичные формы к каноническому виду:

4. _.

Ответ: если .

5. _.

Ответ: если .

6. _.

Ответ: если .

Исследовать на знакоопределенность квадратичную форму L:

7. _. Ответ: Положительно определенная.

8. _.

Ответ: Отрицательно определенная.

9. _.

Ответ: Не является знакоопределенной.

10. .

Ответ: Не является знакоопределенной.

10.9. Контрольные задания

Найти линейное преобразование неизвестных, приводящее квадратичные формы, заданные своими матрицами, к каноническому виду. Выяснить, является ли квадратичная форма знакоопределенной.

10.5. Вопросы для самопроверки

1. Что называется билинейной формой?

2. Какая матрица называется матрицей билинейной формы в линейном пространстве?

3. Чему равен ранг билинейной формы?

4. Какое равенство должно выполняться для того, чтобы билинейная форма являлась симметричной?

5. Какое равенство должно выполняться для того, чтобы билинейная форма являлась кососимметрической?

6. Каким соотношением связаны между собой матрицы одной и той же билинейной формы в различных базисах?

7. Что называется квадратичной формой в линейном пространстве?

8. Какой должна быть матрица квадратичной формы?

9. Какие квадратичные формы называются конгруэнтными?

10. Укажите свойства конгруэнтных квадратичных форм.

11. Какая квадратичная форма называется канонической, нормальной?

12. Как привести квадратичную форму к каноническому виду?

13. Какое число называется положительным индексом инерции?

14. Какое число называется положительным отрицательным индексом инерции?

15. Что называется сигнатурой квадратичной формы?

16. Сформулируйте закон инерции квадратичной формы.

17. Какая квадратичная форма называется положительно определенной?

18. Какая квадратичная форма называется отрицательно определенной?

19. Какая квадратичная форма называется полуопределенной, неопределенной?

20. Из каких элементов состоят главные миноры?

21. Сформулируйте критерий Сильвестра.

10.6. Вопросы для теоретического опроса

1. Билинейные формы. Матрица билинейной формы. Ранг билинейной формы.

2. Связь матриц одной и той же билинейной формы в различных базисах.

3. Квадратичные формы.

4. Конгруэнтные квадратичные формы. Свойства конгруэнтных квадратичных форм.

5. Каноническая и нормальная квадратичные формы.

6. Приведение квадратичной формы к каноническому виду. Метод Лагранжа (метод выделения квадратов).

7. Индексы инерции квадратичной формы. Сигнатура. Закон инерции квадратичных форм.

8. Знакоопределенные квадратичные формы. Критерий Сильвестра.